2.4.1 圆的标准方程-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 LET’S START 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆地有关性质，解决与圆有关地问题，我们首先需要建立圆的方程. 引言 ※ 思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 圆心坐标，半径 确定一个圆 问题探究 A M O x y r 圆心A(a,b)，半径为r，圆上任意一点M(x,y)满足 |AM|=r，即 两边同时平方，得 (x - a)2+(y - b)2= r2 一、圆的标准方程 圆心为A(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程 (x - a)2+(y - b)2= r2 与直线方程比，圆的标准方程有什么特点？ 圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程 x 2 + y 2= r2 练习巩固 例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上. 练习巩固 例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上. 解: 圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25 把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边， 得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点M1在这个圆上. 把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边， 得(-2-2)2+(-1+3)2≠25，等式不成立，所以点M1不在这个圆上. 练习巩固 练习1写出下列圆的标准方程： (1) 圆心为C(-3,4)，半径是； (2) 圆心为C(-8,3)，且经过点M(-5,-1). 【答案】(1) (x+3)2+(y-4)2=5 (2) (x+8)2+(y-3)2=25 思考 点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？ C C C M0 M0 M0 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 在圆内 在圆上 在圆外 练习巩固 例2 已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内. (1) M1(4,-5) (2)M2(6,1) (3)M3(3,-6). 解:(1) M1代入圆的方程，(4-3)2+(-5+2)2<16，所以点M1在圆内； (1) M2代入圆的方程，(6-3)2+(1+2)2>16，所以点M1在圆外； (1) M3代入圆的方程，(3-3)2+(-6+2)2=16，所以点M1在圆上. 练习巩固 例3 ∆ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求∆ABC的外接圆的标准方程. 练习巩固 【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 把三个点的坐标代入上式，可得 故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 练习巩固 【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心) 因为A(5,1)，B(7,-3) 所以AB的中点坐标为(6,-1)，且kAB=-2 所以AB中垂线的斜率为， 则AB中垂线方程为y+1=(x-6)，即x-2y-8=0, 同理可得，BC的中垂线方程为x+y+1=0 联立两个中垂线方程，得圆心坐标为M(2,-3) 所以半径r=|AM|= 故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 A B C 练习巩固 例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 练习巩固 【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 把点A,B的坐标代入圆得方程，圆心C(a,b)代入直线l，得 故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 练习巩固 例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 几何角度:如何确定圆心呢？ x O A(1,1) B(2,-2) y 圆心 在l上 在AB中垂线上 AB中点 AB斜率 练习巩固 【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心) 因为A(1,1)，B(2,-2) 所以AB的中点坐标为(,-)，且kAB=-3 所以AB中垂线的斜率为，