立体几何与球的切接问题 方法技巧微专题-2024届高三数学二轮复习

几何体与球的切接问题 一、几何体的外接球 (I)①球的表面积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问 题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. ②长方体的外接球直径是长方体的对角线 (2)正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球 心，这是构造直角三角形解题的依据.此题关键是确定外接球的球心 的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正 四面体高的34，内切球的半径是正四面体高的14 例1(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的 表面积为 【答案】27π (2)在四面体ABCD中，己知点E,F分别为棱AB,CD中点，且EF1AB, EF1CD,若AB=CD=2,EF=2,则该四面体外接球半径为 【答案】√2 【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题 转化为长方体外接球问题，即可得半径 【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱AB=CD-2,且对棱中点E,F分别满足 EF⊥AB,EF⊥CD, 则可构造长方体使得四面体ABCD的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面 体的外接球 如下图所示： -1- B a 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c 则b2+e2=AB2=4,a=EF=2 所以外接球的半径R=口++C.4+2。互，即四面体4BCD的外接球半径为2. 2 故答案为：√2 思考已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16， 则这个球的表面积是( ) A.16元 B.20元 C.24π D.32π 【解析】 由V=Sh,得S=4,得正四棱柱底面边长为2.画出球 的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R =1222+22+42=6.所以球的表面积为S=4πR2=24π.故选C 【答案】C 二、几何体的内切球 ()正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心. (2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”· V多=S表R内切13. (3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34 (4)并非所有多面体都有内切球（或外接球）. 例2在三棱柱ABC-ABC中，AA1⊥底面ABC,AB=AC,且∠BAC=90 -2- 若三棱柱ABC-ABC存在内切球，则A AB=() A.2-2 B.2+v2 C.2-2 D.2+2 2 2 解：设三棱柱ABC-ABC内切球的半径为r,则AA=2, 利用等体积AB2=Br2+AB2rr2+2AB2r） 化简得AB=(2+V2)r, 故信2@2， 2 故答案为：A. B B 思考 半径为R的球的外切圆柱（球与圆柱的侧面、两底面都相切）的表面 积为 ,体积为 【解析】 外切圆柱的底面半径为R,高为2R,∴.S表=S侧十2S 底=2πR2R+2元R2=6πR2, V圆柱=元R2,2R=2元R3 【答案】6πR2;2πR 专项练习 -3 1.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”·现 有一“阳马”P-ABCD,PAL平面ABCD,AB=4,△PAD的面积为4，则该“阳 马”外接球的表面积的最小值为() A.24r B.28m C.32m D.36m 2.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书内容十分丰富，系统总结了战国、 秦、汉时期的数学成就.其中卷五“商功”中记载“今有鳖需下广五尺，无表：上表四尺， 无广：高七尺”·即“现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺 而无宽，高7尺”，如图，AB=5,CD=4,AD=7, ∠BAD=∠BAC=∠CDA=∠CDB=90°，则此三棱锥D-ABC外接球的表面积是 A.90元 B.45m C.50m D.360元 3.如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳” 有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球因而“谢鞠”就是指 古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物 质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录若将“鞠”的表面视 为光滑的球面，己知某“鞠”表面上的四个点A,B,C,D满足AB=CD=V3cm, BD=AC=2V5cm,AD=BC=5cm,则该“鞠”的表面积为 -4- 1.【答案】C 解：如图，将四棱锥P一ABCD补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相 同 因为长方体外接球的半径，-V④+AD+PP 所以该“阳马”外接球的表面积为： 折×2=(aD2+PAP+16)≥2AD.PA+16m=(x TAD.PA+10m =(4×4+16)x=32π， 当且仅当AD=PA时取等号. 故选C. 2.【答案】A 解：把三棱锥补成如图所示长方体， 则