专题6.3 平面向量的数量积（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题6.3 平面向量的数量积 【考纲要求】 1. 理解向量的数量积概念和基本性质，会用直角坐标计算向量的数量积． 2. 掌握两个向量垂直的条件，并会应用． 3. 利用向量的数量积求向量的模与夹角 【考向预测】 1. 平面向量数量积的运算 2. 利用数量积解决求模问题 3. 两向量的夹角和垂直问题 【本节内容结构】 【知识清单】 1.向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【考点分类剖析】 考点一 平面向量的数量积运算 例1.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求： ①a·b； ②(a＋b)·(a－b)； ③(2a－b)·(a＋3b). 例2. 已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 例3. 已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　C　) A．6　　 B．5　　 C．4　　 D．3 【变式探究】1. 已知，，则（    ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 2. 已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 3.已知等边三角形ABC的边长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点二 利用数量积解决求模问题 例1.(1) 已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 (2) 已知向量，则等于（    ） A．2 B．3 C．3 D．5 例2. 设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 例3. 已知向量，，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【方法归纳】　1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. 2．向量夹角公式cos〈a，b〉＝的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误. 【变式探究】1.(1) 设，向量，，且，则 ． (2)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|a－3b|＝____. 2. 已知向量，，且，则（    ） A．5 B． C．10 D． 考点三 两向量的夹角和垂直问题 例1. 已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 例2 ．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 例3. 已知向量，，若，则（    ） A．0或2 B．2 C．0或 D． 例4.已知向量，. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值. 【方法归纳】　1．求向量夹角的方法 求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解. 2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝. 3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数. 【变式探究】1. 已知向量，则向量的夹角的余弦值为 . 2. 已知，且， 则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 3. 已知向量，满足，，且，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题6.3 平面向量的数量积 【考纲要求】 1. 理解向量的数量积概念和基本性质，会用直角坐标计算向量的数量积． 2. 掌握两个向量垂直的条件，并会应用． 3. 利用向量的数量积求