专题七 几何图形中的最值问题-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

43 专题七　几何图形中的最值问题 求线段或线段和差的最值问题,通常以几何图形中的动点为背景,它是已知图形中存在一个 或多个动点,在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型.解决这类问题的关键是动中求静、变 中找不变,灵活运用相关知识解决问题.解题的基本思路是将其转化为“两点之间线段最短”“垂 线段最短”或“三角形的两边之和大于第三边”求解.此类问题往往综合性强,求解难度大,常常以 选择题、填空题的形式出现在压轴题中. 类型一 利用“垂线段最短”求最值 1. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ACB= 30°,AB=6,P 为边BC 上任意一点,连接 PA,以 PA,PC 为邻边作▱PAQC,连接 PQ,则PQ 长的最小值为 ( ) A. 3 B. 23 C. 6 D. 33 第1题 第2题 答案讲解 2. 如图,在▱ABCD 中,∠C=120°, AD=4,AB=2,H,G 分别是边 CD,BC 上的动点,连接AH,HG, E 为AH 的中点,F 为GH 的中点,连接 EF,则EF 长的最大值与最小值的差为 ( ) A. 1 B. 3-1C. 3 2 D. 2-3 3. 如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于 点O,P 为边AB 上一动点(不与点A,B 重 合),PE⊥OA 于点E,PF⊥OB 于点F.若 AB=8,∠BAD=60°,则EF 长的最小值为 . 第3题 答案讲解 4. 如 图,E 是 边 长 为8的 正 方 形 ABCD 的对角线BD 上的动点,以 AE 为边向左侧作正方形AEFG, P 为AD 的中点,连接PG,在点E 运动的 过程中,求PG 长的最小值. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 44 类型二 利用“两点之间线段最短”求最值 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC=2,将直角边AC 绕点A 按逆时针方向 旋转至AC',连接BC',E 为BC'的中点,连 接CE,则CE 长的最大值为 ( ) A. 5 B. 2+1 C. 2 2+1 D. 5 2+1 第5题 第6题 6. (枣庄中考)如图,四边形ABCD 是菱形,对 角线AC,BD 相交于点O,AC=63,BD= 6,P 是AC 上一动点,E 是AB 的中点,则 PD+PE 的最小值为 ( ) A. 33 B. 63 C. 3 D. 62 7. (西宁中考)如图,△ABC 是等边三角形, AB=6,N 是边AB 的中点,AD 是△ABC 的中线,M 是AD 上的一个动点,连接BM, MN,则BM+MN 的最小值为 . 第7题 8. (威海中考)如图,在正方形ABCD 中,AB= 2,E 为边AB 上一点,F 为边BC 上一点,连 接DE,AF,交于点G,连接BG.若AE= BF,则BG 长的最小值为 . 第8题 答案讲解 9. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3, AD=2,点E 在边CD 上,点F 在 边AB 的延长线上,且CE=BF,连 接CF,AE. (1) 当DE=2时,求CF 的长; (2) 求AE+CF 的最小值. 第9题 类型三 利用“作对称点转化”求最值 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠A=30°,∠C= 90°,AB=6,P 是线段AC 上一动点,点M 在线段AB 上,且AM=13AB ,则PB+ PM 的最小值为 ( ) A. 33 B. 27 C. 23+2 D. 33+3 第10题 第11题 11. ★如图,在菱形ABCD 中,AB=4,E,F 分 别是边AB,BC 的中点,P 是AC 上一动 点,则PF+PE 的最小值为 ( ) A. 3 B. 33 C. 4 D. 43 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈