第二章6 应用一元二次方程-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

84 6　应用一元二次方程 列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1) 审清题意,明确问题中的已知量和 ;(2) 设未知数,可以直接设未知数也可以 ; (3) 依题中的 列出方程;(4) 解所列方程,求所列方程的解;(5) 检验所得的答案与 相符,从而得出结论;(6) 写出答案. 典例1 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 30cm,BC=21cm,动点P 从点C 出发,沿CA 方向运动,动点Q 从点B 出发,沿BC 方向运 动,点P,Q 的运动速度均为1cm/s. (1) 运动多长时间,P,Q 两点相距15cm? (2) △PCQ 的面积能等于60cm2 吗? 请说明 理由. 典例1图 点拨:(1) 利用勾股定理列一元二次方程解决; (2) 利用面积公式列一元二次方程,再根据根 的判别式判断. 解答: 解有所悟:运用一元二次方程解决几何图形问题的 策略:一是寻找或构造直角三角形,利用勾股定理列 一元二次方程解决几何图形的距离问题;二是利用 图形的面积公式直接列一元二次方程解决几何图形 的面积问题. 典例2(眉山中考)为了建设美丽城市,改造老 旧小区,某市2019年投入资金1000万元, 2021年投入资金1440万元.现假定每年投入 资金的增长率相同. (1) 求该市改造老旧小区投入资金的年增长率. (2) 2021年每个老旧小区改造的平均费用为 80万元,2022年为提高老旧小区的品质,每个 老旧小区改造的费用增加15%.如果投入资金 年增长率保持不变,那么该市在2022年最多可 以改造多少个老旧小区? 点拨:(1) 利用2021年投入资金金额=2019年 投入资金金额×(1+年增长率)2,即可列出一 元二次方程,解之取其正值即可得出结论; (2) 根据2022年改造老旧小区所需资金不多 于2022年投入资金金额,即可列出一元一次不 等式,解之取其中的最大整数值即可得出结论. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 85 解有所悟:解决增长(降低)率问题的关键是明确起 始量和终止量,所列方程基本为a(1±x)2=b的形 式,其中a表示起始量,b表示终止量,x 表示平均增 长(降低)率. 典例3(菏泽中考)端午节期间,某水果超市调 查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话: 小王:“这种水果的进价是每千克22元.” 小李:“当销售价为每千克38元时,每天可售出 160千克;若每千克每降低3元,每天的销售量 将增加120千克.” 根据他们的对话,解决问题:若该水果超市每天 既要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客 得到实惠,则这种水果的销售价为每千克多 少元? 点拨:设这种水果的销售价每千克降低x元,则 降价后每天可售出 160+x3×120 千克,根据 销售利润=每千克水果的利润×销售量,即可 得出关于x的一元二次方程. 解答: 解有所悟:运用一元二次方程解决销售问题,其等量 关系为销售利润=单件利润×销售数量=(起始售 价±变化价格-成本价)×(起始数量±变化数量). 注意“±”中“+”或“-”应看具体情况. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 某网店销售一批运动服,平均每天销售20套, 每套盈利45元.为扩大销售量,增加盈利,采 取降价措施,一套运动服每降价1元,平均 每天可多销售4套.若网店要获利2100元, 设每套运动服降价x 元,则下列方程正确 的是 ( ) A. (45-x)(20+4x)=2100 B. (45+x)(20+4x)=2100 C. (45-x)(20-4x)=2100 D. (45+x)(20-4x)=2100 2. (内江中考)某商品经过两次降价,售价由原 来的每件25元降到每件16元.已知两次降 价的百分率相同,则每次降价的百分率为 ( ) A. 20% B. 25% C. 30% D. 36% 3. 《九章算术》中有一道题目:今有二人同立, 甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而 斜东北与乙会,问甲乙各行几何? 大意如 下:甲、乙二人同时