第二章5 一元二次方程的根与系数的关系-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

81 *5　一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系:如果x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个实数根,那么x1+x2= , x1x2= . 2. 使用一元二次方程根与系数关系的前提条 件:(1) 方程;(2) 方程有实数 根,即 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(贵港中考)若x=-2是一元二次方程 x2+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根 及m 的值分别是 ( ) A. x=0,-2 B. x=0,0 C. x=-2,-2 D. x=-2,0 点拨:设方程的另一根为x=a,由根与系数的 关系可得到关于a 的方程,可求得m 的值,即 可求得方程的另一根. 解答: 解有所悟:已知方程的一根求方程的另一根及未知 字母系数的值,解答这类题的另一思路是利用方程 的解的概念,把方程的已知根代入方程先求出字母 系数的值,从而确定出方程,进而解方程求出方程的 另一根,显然没有利用根与系数的关系构造方程的 解法简便. 典例2(宜宾中考)已知m,n是一元二次方程 x2+2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m 的 值为 ( ) A. 0 B. -10 C. 3 D. 10 点拨:根据根与系数的关系可得mn=-5,而m 是方程的一个根,可得m2+2m-5=0,即m2+ 2m=5,整体代入计算即可. 解答: 解有所悟:解决此类问题的关键是综合运用根与系 数的关系及方程的解进行替换化简求值. 典例3(南充中考)已知关于x的一元二次方程 x2+3x+k-2=0有实数根. (1) 求实数k的取值范围. (2) 设方程的两个实数根分别为x1,x2.若 (x1+1)(x2+1)=-1,求k的值. 点拨:(1) 根据一元二次方程x2+3x+k-2= 0有实数根,可知Δ≥0,列不等式即可求得k的 取值范围;(2) 根据根与系数的关系及(x1+ 1)(x2+1)=-1,列方程求得k的值. 解答: 解有所悟:本题综合考查了一元二次方程的根的判 别式及根与系数的关系,解决此类问题的方法是先 由根的判别式确定字母的取值范围,再利用根与系 数的关系列方程求解,特别注意求解的结果必须在 字母的取值范围内. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 82 [基础过关] 1. (盐城中考)若x1,x2是一元二次方程x2- 2x-3=0的两个根,则x1+x2的值为 ( ) A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 2. (乐山中考)关于x 的一元二次方程3x2- 2x+m=0有两根,其中一根为x=1,则这 两根之积为 ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. -13 3. (泸州中考)已知关于x 的方程x2-(2m- 1)x+m2=0的两个实数根为x1,x2.若 (x1+1)(x2+1)=3,则m 的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. -3或1 D. -1或3 4. 方程2x2-5x+3=0的两根分别为x1 和 x2,则x1x2的值为 . 5. 方程2x2-4x=1和方程2x2-x=-4的所 有实数根之和为 . 6. (南京中考)若x1,x2是关于x 的方程x2- 3x+k=0的两个根,且x1=2x2,则k= . 7. 关于x 的方程x2-2mx+m2-m=0有两 个实数根α,β,且 1 α+ 1 β =1,则m= . 8. 利用根与系数的关系,求出下面方程的两根 之和、两根之积: (1) 3x2-9x-8=0; (2) 3y2-8y=7. 9. (永州中考)若x1,x2 是关于x 的一元二次 方程ax2+bx+c=0的两个根,则x1+ x2=- b a ,x1x2= c a. 已知一元二次方程 px2+2x+q=0的两个根分别为m,n. (1) 若m=2,n=-4,求p,q的值; (2) 若p=3,q=-1,求m+mn+n的值. 答案讲解 10. 已知方程x2-5x+2=0的两根分 别为a,b,不解方程求下面代数式 的值. (1) (a-b)2; (2) a2-6a-b+5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 �