第二章4 用因式分解法求解一元二次方程-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

78 4　用因式分解法求解一元二次方程 1. 用因式分解法解一元二次方程的思路:当一 元二次方程的一边为 ,另一边易于 分解成两个 因式的乘积时,就可以 利用因式分解法解方程. 2. 因式分解法解一元二次方程的依据:如果 ab=0,那么 或 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 用因式分解法解方程: (1) (齐齐哈尔中考)x(x-7)=8(7-x); (2) (2x-1)2=(x-3)2. 点拨:(1)(2)都可以先移项使方程的右边为0, 再对方程的左边进行因式分解,从而解方程. 解答: 解有所悟:利用因式分解法解一元二次方程,能否分 解因式是关键,因此,要熟练掌握分解因式的相关知 识.在使用因式分解法解一元二次方程时,首先考虑 有无公因式,如果没有,那么再考虑运用公式分解. 典例2 用合适的方法解方程: (1) x2-2x-4=0; (2) 3x(2x+1)=4x+2; (3) 2x2-7x+1=0; (4) x(2x-7)=2x. 点拨:(1) 方程的二次项系数为1,一次项系数 为偶数,运用配方法求解较合适;(2) 方程两边 含有公因式,运用因式分解法求解较合适; (3) 用公式法求解较合适;(4) 将方程化简后, 运用因式分解法求解较合适. 解答: 解有所悟:根据一元二次方程的特点选择求解方法: (1) 当方程的一边为含有未知数的完全平方式,另 一边为非负数时,可用直接开平方法.(2) 当方程的 一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积 形式时,运用因式分解法求解.(3) 当方程的一边较 易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时, 常用配方法.(4) 当不能使用上面三种方法时,就用 公式法. 典例3 阅读材料: 例如:∵ x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3, ∴ x2+5x+6=(x+2)(x+3).∴ 方程x2+ 5x+6=0用因式分解法解得x1=-2,x2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 79 -3.又如:∵ x2-5x+6=x2+[(-2)+ (-3)]x+(-2)×(-3),∴ x2-5x+6= (x-2)(x-3).∴ 方程x2-5x+6=0用因式 分解法解得x1=2,x2=3.一般地,x2+(a+ b)x+ab=(x+a)(x+b),∴ x2+(a+b)x+ ab=0,即(x+a)(x+b)=0的解为x1=-a, x2=-b. 请依照上述方法,解下面的方程: (1) x2+8x+7=0; (2) x2+3x-4=0. 点拨:(1)(2)都可以将方程的左边运用公式 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行分解, 从而求得方程的解. 解答: 解有所悟:本题探索并揭示了一元二次方程解法与 相对应的二次三项式因式分解之间的内在联系,在 对二次三项式因式分解时,运用公式x2+(a+b)x+ ab=(x+a)(x+b)进行分解,从而达到因式分解解 方程的目的. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (广州中考)一元二次方程x2-4x=0的 解是 ( ) A. x1=0,x2=4 B. x1=0,x2 =-4 C. x1=0,x2 = 1 4 D. x1=0,x2 =- 1 4 2. 下列一元二次方程中,最适合用因式分解法 的是 ( ) A. (x-2)(x+5)=2B. x2+5x-2=0 C. 12(2-x)2=3 D. (x-2)2=2x-4 3. 用因式分解法解下列方程,变形正确的是 ( ) A. (x+3)(x-1)=1,可得x+3=1或x- 1=1 B. (x-3)(x-4)=0,可得x-3=0或x- 4=0 C. (x-2)(x-3)=6,可得x-2=2或x- 3=3 D. x(x+2)=0,可得x+2=0 4. (梧州中考)一元二次方程(x-2)(x+7)=0 的根是 . 5. 用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+ 3)=0,可将其分别化为两个一元一次方程 和 来求解,