第二章3 用公式法求解一元二次方程-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

75 3　用公式法求解一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式为 ,在一元二次方程化为一般形式后, 在 的条件下,可以用求根公式解一 元二次方程,此时的求根公式为 . 2. 一元二次方程的根的判别式为 ,通 常用希腊字母“Δ”来表示.由求根公式可知, 当 时,方程有两个不相等的实数 根;当 时,方程有两个相等的实数 根;当 时,方程没有实数根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 用公式法解方程: (1) 3x2-2x=2; (2) 2x(x+2)=3-x. 点拨:先将(1)(2)的一元二次方程化简整理成 一般形式,找出a,b,c,求出b2-4ac的值,并得 出与0的大小关系,再代入公式进行计算. 解答: 解有所悟:用求根公式求解一元二次方程口诀:一 化、二找、三验、四代. 典例2(龙东地区中考)下列方程中,没有实数 根的是 ( ) A. x2+4x=10 B. 3x2+8x-3=0 C. x2-2x+3=0 D. (x-2)(x-3)=12 点拨:首先将方程整理成一般形式,然后确定 a,b,c的值,最后代入Δ=b2-4ac中求出Δ 的 值,由“Δ>0,Δ=0,Δ<0”确定方程根的情况. 解答: 解有所悟:根的判别式只适用于一元二次方程,若无 法判断方程是否为一元二次方程,则应分情况讨论. 典例3 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+ 2x-3=0有实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m≥23 B. m<23 C. m>23 且m≠1 D. m≥23 且m≠1 点拨:利用一元二次方程有实数根的条件得到 关于m 的不等式组,解不等式组即可得出结论. 解答: 解有所悟:由一元二次方程根的情况确定参数的策 略:根据一元二次方程的根的情况确定根的判别式 的值或取值范围,通过构造含有参数的方程或不等 式(组)求解,具体解题时要注意挖掘题目中的隐含 条件,如二次项系数不为0.若一元二次方程有实数 根,则包含两层意思:可能有两个不相等的实数根, 也可能有两个相等的实数根,所以Δ≥0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 76 [基础过关] 1. 下 列 一 元 二 次 方 程 中,根 是 x = -5± 52-4×3×(-1) 2×3 的为 ( ) A. 3x2+5x+1=0 B. 3x2-5x+1=0 C. 3x2-5x-1=0 D. 3x2+5x-1=0 2. (郴州中考)一元二次方程2x2+x-1=0的 根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. (兰州中考)关于x 的一元二次方程kx2+ 2x-1=0有两个相等的实数根,则k的值为 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 答案讲解 4. (烟台中考)已知关于x的一元二次 方程x2-mnx+m+n=0,其中 m,n在数轴上的对应点如图所示, 则这个方程的根的情况是 ( ) 第4题 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. (扬州中考)请填写一个常数,使得关于x的 方程x2-2x+ =0有两个不相等 的实数根. 6. (丹东中考)关于x 的一元二次方程x2+ 3x+m=0没有实数根,则m 的取值范围是 . 7. 如图,某小区有一块长为30m、宽为24m的 矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形 绿地,它们的面积之和为480m2,两块绿地 之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行 通道的宽度为 m. 第7题 8. 用公式法解方程: (1) x2+x-1=0; (2) 5x2+2x-1=0; (3) 5(x2+2)-8x=0. 9. (广州中考)已知T=(a+3b)2+(2a+ 3b)(2a-3b)+a2. (1) 化简T; (2) 若关于x 的方程x2+2ax-ab+1=0 有两个相等的实数根,求T 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 �