专题2.4 直线与圆、圆与圆的位置关系-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一 直线与圆相切 1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； 2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； 3.代数法：，方程组有一组不同的解. 知识点二 直线与圆相交及弦长 1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； 2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； 3.代数法：，方程组有两组不同的解. 知识点三 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 考点01 直线与圆的位置关系 【典例1】（2023春·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【典例2】（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）“”是“直线与圆相离”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【总结提升】 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法． 考点02 求圆的切线方程 【典例3】（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆在点处的切线方程. 【典例5】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆经过点和，且圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作直线与圆相切，求直线的方程． 【规律方法】 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数． (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0． (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0． 考点03 直线与圆相交及弦长 【典例6】（2024秋·湖北武汉·高三统考开学考试）过点且倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【典例7】（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知圆，若圆上存在两点使得为等边三角形，则的取值范围为 . 【典例8】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知直线,,圆，则以下命题正确的是 ． ①直线均与圆不一定相交； ②直线被圆截得的弦长的最小值； ③直线被圆截得的弦长的最大值为6； ④若直线与圆交于两点，与圆交于两点，则四边形的面积最大值为． 【规律方法】 1.弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 2.具体方法步骤： 设直线l的方程为ax＋by＋c＝0，圆O的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦长的方法通常有以下两种： (1)几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2． (2)代数法：解方程组，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则 |AB|＝＝ 考点04 切线长问题 【典例9】（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（    ） A．2 B． C． D． 【典例10】（2023春·河南南阳·高二统考期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【典例11】（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）过点引圆切线，则切线长是 . 【规律方法】 注意应用圆的几何性质，以及圆内的“特征直角三角形”. 考点05 圆与圆的位置关系 【典例12】【多选题】（2023春·甘