2.3.3、2.3.4 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 [学习目标] 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，强化直观想象和数学运算的核心素养.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养(重点)． 要点　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间的公垂线段的长 图示 公式 (或求 法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝，即||＝|·n|(M为任意一点，n为单位向量) 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　) (2)直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　　) (4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离．(　　) 解析 (1)错误．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离d＝，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式． (2)正确．由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短知结论成立，这是点到直线距离的代数特征． (3)正确．由平行线间距离的定义可知． (4)错误．两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并不是两平行直线上任意两点间的距离． 答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)×　 探究一　点到直线的距离 规律总结 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于此时直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 【例题1】 求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3，1)的距离为的直线方程． 解析 ①当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx(k≠0)，即kx－y＝0.由已知得＝，整理得7k2－6k－1＝0，解得k＝－或1，故所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0. ②当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，其斜率为－1，设直线为x＋y＋C＝0(C≠0)，由已知得＝，解得C＝－6或C＝－2.故所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 【变式1】 (多选)垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程为(　　) A．3x－y＋9＝0 B．3x－y－3＝0 C．3x－y－9＝0 D．3x－y＋3＝0 答案　AB 解析　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝＝＝，所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.故选AB项． 探究二　两平行线间的距离 规律总结 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式．若直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2(b1≠b2)，则d＝；若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0且C1≠C2)，则d＝.必须注意两直线方程中x，y的系数分别对应相等． 【例题2】 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0的距离相等的直线l的方程． 解析 (1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0，所以d＝＝＝. (2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2)．由直线l与两条平行直线的距离相等，可得＝，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 【变式2】 (1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C． D．4 (2)(多选)已知直线m：2x＋y－1＝0与直线n平行，且两条直线之间的距离为，则直线n的方程可为(　　) A．2x＋y＋4＝0 B．2x＋y－4＝0 C．2x＋y＋6＝0 D．2x＋y－6＝0 解析 (1)由两条直线平行可得＝，解得m＝24，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝1.故选A项． (2)根据题意可设直线n的方程为2x＋y＋λ＝0，则＝，解得λ＝4或λ＝－6，所以直线n的