1.3 一元二次方程的根与系数的关系（1个课时＋1个知识点＋7个题型）学案2023-2024学年苏科版九年级数学上册

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1．了解一元二次方程的根与系数的关系。 2．经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，加深对一元二次方程及其根的认识。 【学习内容】 一元二次方程的根与系数的关系 ·1·求根与系数的关系 ·2·韦达定理变形公式的应用 ·3·已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值 ·4·利用一元二次方程根与系数的关系求参数 ·5·阅读题 【基础知识】 ·知识点 一元二次方程的根与系数的关系 1．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根分别为x1、x2，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： x1＋x2＝ ， x1·x2＝ 。 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。 2．“韦达定理”的应用：常用的重要变形： ① x12＋x22 ＝ （x1＋x2）2－2 x1 x2 ； ②＝ ； ③ x1 x22＋x12 x2 ＝ x1 x2（x1＋x2） ④ （x1－x2）2 ＝ （x1＋x2）2－4 x1 x2 ； ⑤＝ ； ⑥＝ ★细节剖析： （1）根与系数的关系是在a≠0，b2﹣4ac ≥0的前提下得出的。 （2）根据一元二次方程的求根公式探索一元二次方程的根与系数的关系.根与系数的关系刻画了一元二次方程的两根和、两根积与系数a，b，c之间的关系。 （3）以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1时）为 x2﹣（x1＋x2）x＋x1x2＝0 。 ·1·求根与系数的关系 ·例1· 已知方程x2﹣4x﹣7＝0的两个根分别是x1和x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ 。 ·练习· 1．若x1、x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值是（ ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 2．若一元二次方程2x2－4x＋1＝0的两个根为x1、x2，则x1·x2是（ ） A．1 B．－1 C．2 D． 3．若x1、x2是一元二次方程x2－7x＋5＝0的两根，则x1 x2的值是（ ） A．7 B．－7 C．5 D．－5 ·2·韦达定理变形公式的应用 ·例2· 一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根为x1、x2， 则x12 x2＋x1 x22 ＝ 。 ·练习· 1．设x1、x2是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则x1＋x2－ x1 x2 ＝ 。 2．若方程x2−4x＋2＝0的两个根为x1、x2，则x1（1＋x2）＋x2的值为 。 3．若菱形的两条对角线长分別是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为 。 4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A．12 B．9 C．13 D．12或9 ·例3· 一元二次方程x2－4x＋1＝0的两根为x1、x2，则x12＋4x2＋3x1 x2的值为 。 ·练习· 1．若m，n分别是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则m2－3m＋n的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若m，n是方程x2＋x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2﹣mn＋3m＋2n＝ 。 3．设a、b是方程x2＋x－2015＝0的两个不相等的实数根。 （1）求的值； （2）求（a＋1）2＋b的值。 4．若，是一元二次方程x2＋3x－1＝0（≠）的两个根，那么的值是 。 5．已知a，b为一元二次方程x2＋3x－2019＝0的两个根，那么a2＋2a－b的值为 。 ·例4· 已知，是方程：x2－2x－4＝0的两根，求代数式的值。 ·练习· 1．设x1、x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个根，那么x13－4x22＋19的值等于（ ） A．－4 B．8 C．6 D．0 ·3·已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值 ·例5· 己知：关于x的方程2x2－（m＋6）x＋2m－10＝0的一个根是4，求m的值和它的另一个根。 ·练习· 1．已知关于x的方程x2＋2x－a＝0的一个根为2，则另一个根是 。 2．若方程：kx2－9x＋8＝0的一个根为x＝1，则k＝ ；另一个根为 。 3．若一元二次方程x2－（a＋2）x＋2a＝0的两个实数根分别是3、b，则a＋b＝