广东省2022-2023学年高二下学期数学期末试题汇编：圆锥曲线解答题

2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：圆锥曲线解答题 （原卷版） 1. （2023年广东省潮州市）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程． 2. （2023年广东省湛江市）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 3. （2023年广东省江门市）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 4. （2023年广东省汕头市）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. （1）求曲线和曲线的标准方程； （2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 5. （2023年广东省阳江市）已知椭圆的焦距为，点在上． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围． 6. （2023年广东省深圳市）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 7. （2023年广东省汕尾市）已知抛物线过点（）． （1）求C的方程； （2）若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度． 8. （2023年广东省揭阳市）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点． （1）求的方程； （2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 1 $$2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：圆锥曲线解答题 （解析版） 1. （2023年广东省潮州市）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，即可求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，用面积公式和弦长公式即可求出m. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或， 依题意可得，又，所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 根据题意，设点，， 联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得， ，即得，， 由弦长公式可得， 由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，， 所以， 当且仅当，即时，面积取得最大值为， 此时直线的方程为 2. （2023年广东省湛江市）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程； （2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点. 【小问1详解】 由题意点是椭圆的一个顶点，知， 因为是等腰直角三角形，所以，即， 所以椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知． 由，得， 由题意知，设，， 所以，， 因为，所以 ， 所以，整理得， 故直线的方程为，即， 所以直线过定点． 若直线的斜率不存在，设其方程为，，． 由题意得，解得， 此时直线的方程为，显然过点． 综上，直线过定点． 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用，的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性 3. （2023年广东省江门市）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程可确定焦距，再结合离心率和椭圆的关系可求得椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据三角形面积公式可知所求面积之比为，利用可构造不等式求得的范围，从而确定面积之比的取值范围. 【小问1详解】 双曲线的方程可化为，其焦距为， 设椭圆的焦点为，，解得：