广东省2022-2023学年高二下学期数学期末试题汇编：立体几何解答题

2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：立体几何解答题（原卷版） 1. （2023年广东省江门市）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，． （1）求证；； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 2. （2023年广东省湛江市）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥. （1）设平面平面，证明：⊥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 3. （2023年广东省潮州市）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，，，． （1）证明：平面BCD； （2）若平面DAB与平面CAB的夹角为，求平面ACE与平面BCE的夹角的余弦值． 4. （2023年广东省揭阳市）如图，在四棱锥中，，，，，，． （1）证明：平面平面PBD； （2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值． 5. （2023年广东省汕头市）如图，在五面体中，平面，平面是梯形，，，，E平分． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 6. （2023年广东省阳江市）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）已知点在上满足平面，求的值. 7. （2023年广东省深圳市）如图，已知三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，是边长为2的正三角形，且平面平面. （1）证明：平面平面； （2）若，点为的中点，点为圆上一点，且与位于直径的两侧，当平面时，求平面与平面的夹角的余弦值. 8. （2023年广东省汕尾市）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）求证：平面EDB； （2）求证：平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD夹角的大小. 1 $$2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：立体几何解答题（解析版） 1. （2023年广东省江门市）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，． （1）求证；； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 证明：因为平面平面，平面平面，， 平面，所以，平面， 因为平面，因此，. 【小问2详解】 解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以，、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. 2. （2023年广东省湛江市）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥. （1）设平面平面，证明：⊥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到，证明出线面垂直， （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 平面平面， 平面. 平面，平面平面， . 由图①，得， . 平面， 平面； 【小问2详解】 由题意，得. 又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 设平面的一个法向量为. 则， 令，得，故. 设与平面所成角为. 直线与平面所成角的正弦值为. 3. （2023年广东省潮州市）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，，，． （1）证明：平面BCD； （2）若平面DAB与平面CAB的夹角为，求平面ACE与平面BCE的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理可得，，再由可得，再由直角三角形的性质可得，然后由勾股定理的逆定理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 ，分别是线段，的中点，则，， 又，所以， 因为，为的中点，所以， 所以，所以， 又，平面， 所以平面 【小问2详解】 以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由（1）可得平面，平面， 所以，