广东省2022-2023学年高二下学期数学期末试题汇编：导函数解答题

2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：导函数解答题（原卷版） 1. （2023年广东省珠海市）已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). （1）当a＝时，求f(x)的极值； （2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 2. （2023年广东省佛山市）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）求在区间上的最小值与最大值. 3.（2023年广东省肇庆市）已知函数． （1）若有两个极值点，求的值； （2）设，求的最值． 4. （2023年广东省东莞市）已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围． 5. （2023年广东省梅州市）已知函数. （1）求的单调区间： （2）求证：在区间上有且仅有一个零点. 6. （2023年广东省中山市）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 7. （2023年广东省汕尾市）某中学科技创新教研组为了研制飞机模型的自动着陆系统，技术人员需要分析飞机模型的降落曲线．如图，一架水平飞行的飞机模型着陆点为坐标原点O．已知飞机模型开始降落时的飞行高度为10m，水平飞行速度为，且在整个降落过程中水平速度保持不变．出于保持机身结构稳定的考虑，飞机竖直方向的加速度的绝对值不得超过（此处是重力加速度）．若飞机模型在与着陆点的水平距离是时开始下降，飞机模型的降落曲线是某三次多项式函数（）图象的一部分，飞机模型整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞机模型开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切，请解决以下问题： （1）确定该飞机模型的降落曲线方程； （2）求开始下降点所能允许的最小值（精确到0.1，）． 8. （2023年广东省东莞市）已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，且对任意（其中）都有，求实数的最小值． 9. （2023年广东省湛江市）已知函数（，e为自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）求函数的极值的最大值. 10. （2023年广东省江门市）已知函数，其中． （1）若，求的单调区间； （2）讨论函数的零点个数． 11. （2023年广东省潮州市）已知函数，． （1）求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数a的值． 12. （2023年广东省佛山市）已知函数. （1）当时，证明：； （2）若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围. 13. （2023年广东省梅州市）已知函数在点处的切线方程为：. （1）求实数a，b的值； （2）证明：； （3）若方程有两个实数根,且，证明：. 14. （2023年广东省揭阳市）已知函数，其中． （1）求的单调区间； （2）若，函数，证明：的极小值恒大于． 15 （2023年广东省中山市）已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，证明：存在唯一极值点，且. 16. （2023年广东省肇庆市）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若不等式恒成立，证明：． 17. （2023年广东省珠海市）已知函数，其中为常数. （1）若，求函数在其定义域内的单调区间； （2）证明：对任意，都有：； （3）证明：对任意，都有：. 18. （2023年广东省汕头市）已知函数，． （1）若的最大值是0，求的值； （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围． 19. （2023年广东省阳江市）已知函数 （1）求在处的切线; （2）若，证明当时，. 20. （2023年广东省深圳市）已知. （1）当时，讨论的单调性； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 $$2022~2023学年广东省高二下学期数学期末试题汇编：导函数解答题（解析版） 1. （2023年广东省珠海市）已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). （1）当a＝时，求f(x)的极值； （2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【答案】（1）f(x)极大值＝ln 2－1，无极小值；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当a＝时，f(x)＝ln x－x，求导得到f′(x)＝－＝，然后利用极值的定义求解. （2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解. 【详解】（1）当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ln 2－1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值. （2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝ (x>0). 当