第27讲：等比数列的概念公式与性质讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第27讲：等比数列的概念公式与性质 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握等比数列的概念、公式与性质 2.能利用等比数列的公式与性质处理解决简单的问题 【预习清单】 【基础知识梳理】 等比数列的定义： 1.文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数（不为零），那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公 比，通常用字母q表示 2.符号语言：an十1am=g(g≠0，n∈N+). 二.等比数列的通项公式与前n项和公式 1.通项公式：an=aq1 2.前n项和公式：Sn=al,g=1,a1(1-qn)al-anql-q),q≠1. 三.等比数列的性质：已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. 1.通项公式的推广：an=a.g"-m(n,m∈N+). 2.若m十n=ptq=2r(m,n,D,g,r∈N+)，则aan=aag=a,2. 3.数列Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…构成等比数列. 4.等比中项：若三个数a,G,b组成等比数列，则G叫作a,b的等比中项，且G 2=ab,即G=±√ab, 四.等比数列的判定方法： L.定义法：即证明an+lan=q(g≠0，n∈N)(g是与n值无关的常数). 2.中项法：证明一个数列满足a2n十1=an·an+2(n∈且an·an+1·a+2≠0). 【引导清单】 考向一：等比数列基本量的计算 例1：(1)设等比数列{a}的各项均为正数，其前n项和为Sn,若a1=1,=4,S=63, 则k= (2)设{an}是等比数列，且a1十a2十a3=1,a2十a十a4=2,则a6十a十as=_ (3)记Sn为等比数列{am}的前n项和.若as一a3=12,a6一a4=24,则Snam= 【解析】(1)设等比数列(a)的公比为q,由已知a1=1,=4,得q2=a3a1=4.又{an】 的各项均为正数，.q=2.而S=1-2k1一2=63，，2-1=63，解得k=6.(2)方法一： 设等比数列{an}的公比为q,所以a2十a3十a4a1十a2十a3=(al+a2十a3）9a1 +a2+a3=q=2,由a十a十a3=a(1十q十q2)=a1(1+2+2)=1,解得a=17, 所以a6十a7+a8=a1(g3+g6+g)=17×(25+26+27)=17×25×(1+2+22=32 （3)设等比数列{am}的公比为g,则由a5-a3=alg4-alg2=12,a6-a4= alg5-alq3=24)解得al=1,9=2,所以Sm=al(1-qn)1-q=2m-1,an=a1g-l =2n-1,所以Smam=2n-12n-1=2一2l-" 考向二：等比数列性质的应用 例2：(1)在等比数列{a)中，各项均为正值，且a6a1o十a3as=41,a4ag=5,则a4十a= (2)已知sn是等比数列{anJ的前n项和，且S。=10,S2。=100,则s3。= 【解析】(1)由a6a1o十aas=41及a6a1o=a28,asas=a24,得a24十a28=41.因为a48g=5, 所以(a4十aa)2=a24+2aag十a28=41十2×5=51.又an>0,所以a4+aa=51:(2)因为在等 比数列中sn,52m-S.,S。-S2m…仍呈等比数列，又因为5n=10,S2m=100,所以5n=710。 考向三：等比数列的判定与证明 例3：在数列{an}中，a1=2,a+1=4an-3n十1，n∈N". (1)求证：数列{an一n}是等比数列；(2)求数列{a}的前n项和Sn: 【证明】(1)由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an一n),n∈N*.又a1一1=1， 所以数列(an-n]是首项为1，公比为4的等比数列.(2》解：由(1)可知an一n=4m-1,于 是数列[an}的通项公式为an=4-1+n,所以数列{aJ的前n项和S.=4n一l3+n(n+1)2. 【训练清单】 【变式训练1】(1)在等比数列[a}中，a=7,前3项和S=21,则公比g的值为 (2)已知数列{anJ满足2a+1+an=0,a2=1,则数列{an}的前10项和S1o为 【解析】(1)根据已知条件得a1q2=7,①a1+a1q+alq2=21,②)②÷①得1+q+q2q2 =3. 整理得2g2-q-1=0,解得q=1或q=-12.(2),2an+1十an=0,∴.an+1an=-12.又 =1,.a=-2,.{a}是首项为-2，公比为q=-12的等比数列，.S0=a1(1一q10)1一q =-2(1-2-10)12=43(2-10-1) 【变式训练2】(1)在等比数列{an}中，若a1·as=16,a4=8,则a6= (2)设等比数列{anJ的前n项和为Sn