21.2.2&21.2.3公式法，因式分解法(讲+练，8题型)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

21.2.2&21.2.3公式法，因式分解法 一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 题型1：利用△判断根的情况 1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式1-1】关于x的一元二次方程 的根的判别式的值为　 　． 【变式1-2】关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【变式1-3】不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型2：利用根的情况确定字母取值范围 2.若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； （2）当方程的一个根时，求另一个根及k的值． 【变式2-2】已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 题型3：利用公式法解一元二次方程 3.解方程： . 解方程：x2-5x+2=0。 【变式3-1】用公式法解方程，其中 ． 【变式3-2】解方程： （1） （2） 题型4：数形结合与待定字母的值 4.若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为 　 　. 【变式4-1】等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长． 【变式4-2】已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等． 因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 常用的因式分解法： 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 题型5：利用因式分解法解一元二次方程 5.（1） （2） 【变式5-1】解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5． 解方程：x（x﹣3）＝x﹣3 【变式5-2】求使代数式的值与的值互为相反数的x的值． 题型6：适当的方法解一元二次方程 6.用适当的方法解下列方程： （1） ； （2） ． 【变式6-1】请用适当的方法解方程： （1） （2） 【变式6-2】用适当的方法解下列方程： （1） （2） 题型7：换元法求代数式的值 7.若 ，则代数式 的值为　 　. 【变式7-1】已知实数满足，，求的值． 【变式7-2】阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， ∴原方程可化为， 解得，， 当时，，， 当时，，． ∴原方程有四个根是，，，． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）解方程：； （2）已知实数，满足，试求的值． 题型8：新定义问题 8.对于任意实数a，b，定义一种运算： a b=a2+b2-ab，若x (x-1)=3，则x的值为　 　 【变式8-1】现定义运算“★”，对于任意实数a，b， 都有a★ ， 如：3★ ，若x★ ，则实数x的值是　 　. 【变式8-2】对于实数a，b定义运算“”如下：，若，则 ． 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．没有实数根 2．一元二次方程的求根公式是（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．有两个解 B．当，有两个解 C．当，有两个解 D．当时，方程无实数根 4．三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．10或13 B．13 C．10 D．以上都不对 5．已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值为(       ) A．-1 B．0 C．2 D．1 二、填空题 6．若关于 x 的一元二次方程 x2 2xb 0 有两个相等的实数根，则 b 的值为 ． 7． 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 8． 等腰的三边长都是一元二