空间向量与立体几何解答题-广东省2022-2023学年高二上学期期末数学试题汇编

2022~2023学年广东省高二上学期数学期末试题汇编：空间向量与立体几何解答题 （原卷版） 1. （2023年广东省深圳市龙华区）如图，在平行六面体中，，．设，，． （1）用基底表示向量，，，； （2）证明：平面． 2. （2023年广东省肇庆市）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成（如图2）.已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8. （1）求圆锥的母线长； （2）设为半圆弧的中点，求到平面的距离. 3. （2023年广东省揭阳市揭西县）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． （1）求异面直线EF与所成角的大小． （2）证明：平面． 4. （2023年广东省深圳市宝安区）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． （1）求异面直线EF与所成角的大小． （2）证明：平面． 5. （2023年广东省汕尾市）如图，在正方体中，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 6. （2023年广东省深圳市宝安区）如图，在三棱锥中， ，为的中点，. （1）证明：平面平面; （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值. 7. （2023年广东省深圳市龙华区）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为． （1）求的长； （2）求点到平面的距离． 8. （2023广东省茂名市信宜市）是边长为2的等边三角形，为边上的动点，且，为的中点，为的中点.将沿进行折起，使得平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. . 9. （2023广东省惠州市）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点， （1）求证： （2）求EF与CG所成角的余弦值. 10. （2023广东省惠州市）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 11. （2023年广东省汕头市潮阳区）如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值. 12. （2023年广东省揭阳市揭东区）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 13. （2023年广东省佛山市）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，，， （1）若，求BD与平面ACDE所成角的正弦值； （2）若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长. 14. （2023年广东省深圳市南山区）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点． （1）证明：平面ABP； （2）若，求点P到平面BCE的距离． 15. （2023年广东省梅州市）如图，直角梯形中，，，，点为的中点，沿着翻折至，点为的中点，点在线段上. （1）证明：平面； （2）若平面平面，平面与平面的夹角为，求的值. 16. （2023年广东省深圳市南山区）在四棱柱中，底面ABCD为正方形，侧面为菱形，且平面平面ABCD． （1）证明：； （2）设点P在棱上运动，若，且，记直线与平面PBC所成的角为，当时，求的长度． 17. （2023年广东省肇庆市）如图，已知四棱锥的底面为边长为2的菱形，且平面，. （1）设为中点，证明：平面平面； （2）设，上是否存在一点，使得与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由. 18. （2023年广东省汕尾市）如图，在四棱锥中，，，平面，，三棱锥的体积为. （1）求的长度； （2）已知是线段上的动点，问是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 20. （2023广东省湛江市）如图，在棱长为2的正方体中，E为AD中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）探究线段上是否存在点F，使得平面？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由． 1 $$2022~2023学年广东省高二上学期数学期末试题汇编：空间向量与立体几何解答题 （解析版） 1. （2023年广东省深圳市龙华区）如图，在平行六面体中，，．设，，． （1）用基底表示向量，，，； （2）证明：平面． 【答案】（1），，， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理和向量的线性运算直接求解； （2）先利用向量法证明出和，再利用线面垂直的判定定理直接证明. 【小问1详解】 因为， ，，， 所以，，，. 【小问2详解】 不妨设，