1.2 空间向量基本定理-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学选择性必修第一册课堂学案 1.2 空间向量基本定理 第一课时空间向量基本定理 [学习目标]1.了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握空间向量的正交分解，培养 直观想象的核心素养.3.会选择适当的基底表示任意向量，强化直观想象和数学运算的核心素养（重点）. 必备知识·基础落实 个 答案见P 要点一 空间向量基本定理 2.正交分解的概念：由空间向量基本定理可知， 如果三个向量a,b,c 那么对任意一 对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向 个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,之)， 量i,i,冰，使 像这样，把一个空 使得p=aa+3b十c.我们把{a,b,c}叫做空间 间向量分解为三个 的向量，叫做把空 的一个 ,a,b,c都叫做 .空间 间向量进行正交分解. 任意三个 的向量都可以构成空间的 一个基底 辨析 >思考：若{a,b,c}是空间的一个基底，那么a与 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” b可以共线吗？ (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向 量的一个基底。 () (2)若{a,b,c为空间的一个基底，则a,b,c全都 不是零向量 () 要点二正交分解 (3)若对向量p,可以找到三个向量a,b,c,使p 1.单位正交基底的概念：如果空间的一个基底中 a十b十c,则{a,b,c}可构成空间向量的一个 的三个基向量 ,且长度都为 基底。 那么这个基底叫做单位正交基底，常用 (4)对于三个不共面向量a,a2,a,不存在实数 表示 组(1，λ2，λa),使0=入1a1十λ2十a.() 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 基底的判断 【例题1】已知{e1,e2,ea}是空间的一个基底，且 OA=er+2e:-es.OB=-3e+e:+2es.CC= 解题技巧 e十ea一e4,试判断{OA,OB,OC能否作为空 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为 间的一个基底。 基底，关键是要判断这三个向量是否共面.首 先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断 三个非零向量是否共面，如果从正面难以入 手判断三个向量是否共面，可假设三个向量 共面，利用向量共面的充要条件建立方程组. 若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无 解，则三个向量不共面 ·12· 第一章空间向量与立体几何 【变式1】（多选）已知a,b,c是不共面的三个向 【变式2】如图，在三棱柱ABC-A'B'C中，已知 量，则不能构成一个基底的一组向量是 AA=a,AB=b,AC=c,点M,N分别是 BC',B'C'的中点，试用基底{a,b,c}表示向量 A.2a,a-b,a十2b B.2b,b-a,b+2a AM.AN. C.a,2b,b-c D.c.a+e,a-c 探究二 用基底表示空间向量 答题模板 用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面 的向量构成空间的一个基底。 (2)找目标：用确定的基底（或已知基底）表示 目标向量，需要根据三角形法则及平行四边 形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进 行变形、化简，最后求出结果， (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a,b, C}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结 果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的 向量 【例题2】已知空间四边形OABC中，OA=a,OB b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N 为BC的中点，F为MN的中点.用基底{a, b,c表示向量MN和OF, 探究三用空间向量基本定理求参数 规律总结 由空间向量基本定理可知，如果三个向量a, b,c是不共面的向量（基向量），则a,b,c的线 性组合十b十℃能生成所有的空间向量， 并且有序数组(x,y,z)是唯一的，这是利用空 间向量基本定理求参数值的理论基础. 13 数学选择性必修第一册课堂学案 【例题3】已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一 【变式3】已知正方体ABCD-AB'CD'中，点E 点，M,N分别为PC,PD上的点，且M是PC 是上底面AB'CD的中心，求下列各式中x, 上靠近C的三等分点，N为PD的中点，求满 y,x的值 足MN-xAB+yAD+xAP的实数x,y, (1)BD=xAD+yAB+AA': 的值。 (2)AE=AD+yAB+sAA'. 随堂检测·学以致用 答案见P L.(多选)下列结论正确的是 4.如图所示，在空间四边形OAP℃ A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它 中，其对角线为OB,AC,M 们不共面 是OA的中点，G为△ABC B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成 的重心，用向量OA,OB,O心 空间的一个基底，则这两个向量共线 表示向量MG C.若a,b是两个不共线的向量，且c=a十，b (入，∈R,且u≠0)，则{a,b,c}构成空