专题06 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题06 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训 【题型目录】 题型一 求两条线段和的最小值 题型二 求两条线段差的最大值 题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题） 题型四 最值问题的实际应用 【知识梳理】 将军饮马中最短路径问题四大模型 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 求两条线段和的最小值】 【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式训练】 1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，使PB+PD最小，则这个最小值=________． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【经典例题二 求两条线段差的最大值】 【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（    ） A．160 B．150 C．140 D．130 【变式训练】 1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】 【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是(        ) A．6 B．12 C．16 D．20 【变式训练】 1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________． 3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题： 例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周