第22讲：线性回归方程讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第22讲：线性回归方程 【课型】复习课 【教学目标】1.了解相关关系、散点图，会判断两变量是否成线性相关关系 2.能利用最小二乘法求线性回归方程的两个系数 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与 函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 2.散点图：在一个统计数表中，为了更清楚地看出x和y是否具有相关关系，常将x 的取值作为横坐标，将y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标中 描点(xi,yi)i=1,2,,n),这样的图形叫做散点图 60 3.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点 S000 图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系， 10 0123436方日 这条直线叫回归直线， (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个 y 变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的 30 25 区域内，两个变量的相关关系为负相关 1 (3)回归方程为y=bx十a,其中b=2i”=”=pa= 5 0十支寸436方 -b (4)注意：①自变量x每增加1个单位，函数值平均增加或减少凸个单位。 ②所以线性回归方程均过点(，)，(，)称为样本中心点。 【引导清单】 考向一：相关关系的判断 例1：己知变量x和y满足关系y=一0.1x十1，变量y与z正相关.下列结论中 正确的是( A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关 【解析】因为y=一0.1x十1的斜率小于0，故x与y负相关.因为y与z正相关， 可设z=by+a,b>0,则z=by十a=一0.1br十b十a,故x与z负相关 考向二：线性回归方程及其应用 例2：己知具有相关关系的两个变量x,y的几组数据如下表所示： 2 4 6 8 10 3 6 7 10 12 (1)请根据上表数据在网络纸中绘制散点图： (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx十 a,并估计当x=20时y的值. 参考公式：b=2i∑%=∑%=p,a=-b. 12 【解】(1)散点图如图所示：(2)依题意=15×(2+4+6 10 +8+10)=6,=15×6+6+7+10+12)=7.6,22=4+16+36+64+100 =220,】 xy=6十24十42+80+120=272，=2i5:=5=》=272-5 ×6×7.6220一5×62=4440=1.1，所以=7.6-1.1×6=1.所以线性回归方程 =1.1x十1，故当x=20时，y=23 【训练清单】 【变式训练1】对变量x,y有观测数据(x,)(i=1,2,3,4,5),得表1：对 变量u,0有观测数据(4，)i=1,2,3, 4,5),得表2.由这两个表可以判断( ) 1 23 45 2.93.33.64.45.1 A.变量x与y正相关，u与0正相关 1 2 345 B.变量x与y负相关，u与o正相关 2520211513 C,变量x与y负相关，u与o负相关 D.变量x与y正相关，u与v负相关 【解析】选D.由题可知，随着x的增大，对应的y值增大，其散，点图呈上升趋势， 故x与y正相关：随着的增大，)减小，其散点图呈下降趋势，故u与0负相 关 【变式训练2】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x(单 位：千元与月储单位：千元的数摆资料，计算得2=0，=20 i-1 2为184， 龙，=720.已知家庭的月储着y关于月收入x的线性回归方程为 i=l y=bx+a, (1)判断变量x与y正相关还是负相关 (2)y关于x的线性回归方程y=bx十a,若该居民区某家庭月收入为7千元， 预测该家庭的月储蓄是多少千元？ 【解折1K1)由题意，知n=10,X=102x=8,y=102y=2·=184-10 i=l ×8×2720-10×82=0.3,=2-0.3×8=-0.4,..=0.3x-0.4,,0.3>0, .变量x与y正相关.(2)当x=7时，=0.3×7一0.4=1.7（千元）. 【巩固清单】 1.下列两变量中不属于相关关系的是 () A产品的成本与产量B家庭的收入与支出C.球的表面积与体积D.吸烟与健康 【解析】球的表面积与体积是函数关系。 2.某商品销售量（件）与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是 () A.y=-10x+200B.y=10x+200C.y=-10x-200 D.y=10x-200 【解析】选A.因为商品销售量（件）与销售价格x(元/件)负相关，所以<0，排 除B,D, 又因为x=0时，y>0,所以应选A 3.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负 的线性相关关系的