22.1二次函数的图像和性质 同步练习 2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图像和性质 一、选择题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x+2 C．y＝ D．y＝2x+2 2．若函数是二次函数，则有（　　） A． B． C． D． 3．抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为(　　) A．直线x=3 B．直线x=-3 C．直线x=2 D．直线x=7 4．若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知点，在抛物线(m是常数)上，若，，则下列大小比较正确的是(　　) A． B． C． D． 7．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（　　） A． B． C．2 D． 8．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴交于点A，点A的坐标为，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 9．函数是二次函数，则　 　. 10．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是 　 　． 11．已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，那么m的取值 范围是　 　． 12．已知二次函数，当时，y的取值范围是　 　． 三、解答题 13．已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式． 14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 15．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D. （1）求抛物线的解析式； （2）求△BOC的面积. 16．已知函数（b，c为常数）的图像经过点，. （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值与最小值之差； （3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值. 17．在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数）， （1）求函数图象的对称轴. （2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点. （3）已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：. 18．如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求此抛物线顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点，且，求点的坐标． 参考答案 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．A 7．D 8．B 9．1 10．m＜﹣1 11．m≥-1 12．0≤y≤36 13．解：∵抛物线过点和，∴ 解方程组，得 ∴抛物线的解析式是． 14．解：（方法一） ∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ； （方法二）把 ， 分别代入原方程， 可得： ， 解得： ， ∴ . 15．（1）解：∵抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：由（1）知，， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∵点B的坐标为（﹣3，0）， ∴OB＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴△BOC的面积是＝. 16．（1）解：把，代入可得∶ ，解得： （2）解：由（1）得：该函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵ ∴抛物线开口向上， 又∵， ∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3 ∴y的最大值与最小值之差为 （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ①当时，即 ∴当时，y有最小值为，y有最大值为 ∵ ∴； ①当时，即 ∴当时，y有最小值为 当时，y有最大值为 ∴，解得 ∵与矛盾 ∴不符合题意. 综上，. 17．（1）解：∵函数（，且m，n为实数）， 函数图象的对称轴为 （2）证明：令，则， 即， m，n异号， ∴， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点； （3）证明：由题可知 ， . 18．（1）解：抛物线解析式为，即 （2）解：因为， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：设， 因为， 所以， 所以或， 解方程得，则点坐标为或； 解方程得，则点坐标为， 所以B点坐标为或或． $$