5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5.4　三角函数的图象与性质 5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解正弦函数、余弦函数的图象，培养直观想象的核心素养.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象，提升直观想象的核心素养(重点).3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养(重难点)． 要点一　正、余弦函数的解析式 函数 解析式 定义域 正弦函数 y＝sin x R 余弦函数 y＝cos x R 要点二　正弦曲线和余弦曲线 1．正弦曲线：正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如图所示． 2．余弦曲线：余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如图所示． 3．将正弦曲线向左平移个单位长度即能得到余弦曲线． 思考：利用平移法作余弦函数图象的依据是什么？为什么不能利用sin＝cos x来确定平移的方向和距离？ 提示　利用平移法作余弦函数图象主要依据诱导公式六：sin＝cos x．显然在诱导公式五：sin＝cos x中，等号两端x的系数符号相反，所以不能利用该公式确定平移的方向和距离． 要点三　五点(画图)法 一般地，作正弦曲线和余弦曲线的草图时，只需利用五点(画图)法，其中： (1)正弦函数图象的五个特殊点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数图象的五个特殊点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1). 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的．(　　) (2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同．(　　) (3)函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝cos x的图象．(　　) (4)函数y＝cos x的图象关于x轴对称．(　　) 提示　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 探究一　“五点法”作正、余弦函数的图象 规律总结 用“五点法”作正、余弦函数的简图的步骤 (1)确定五个关键点：最高点、最低点、与x轴的三个交点． (2)列表：将五个关键点列成表格形式． (3)描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点． (4)连线：用光滑的曲线连接五个关键点．注意连线时，必须符合三角函数的图象特征． (5)平移：将所作的[0,2π]上的图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线． 【例题1】 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝2－sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝－1－cos x，x∈[0,2π]． 解析　(1)按五个关键点列表. x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x 2 1 2 3 2 在平面直角坐标系中描出五个点(0,2)，，(π，2)，，(2π，2)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝2－sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示． (2)列表. x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点连线，如图所示． 【变式1】 (1)用“五点法”作出函数y＝2sin的图象． (2)画出函数y＝1＋2cos 2x，x∈[0，π]的简图． 解析　(1)设X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X，当X取0，，π，，2π时， 由x＝＝－，得x取－，，，，. 列表. 2x＋ 0 π 2π x － 2sin 0 2 0 －2 0 描点并作出函数y＝2sin，x∈的图象，然后将其向左、向右扩展，就得到了函数y＝2sin的图象，如图所示． (2)按五个关键点列表. 2x 0 π 2π x 0 π cos 2x 1 0 －1 0 1 1＋2cos 2x 3 1 －1 1 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． 探究二　应用正、余弦函数的图象解不等式 高考拓展 用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． 【例题2】 求满足sin≤的x的范围． 解析　令z＝x＋，sin z≤，在同一平面直角坐标系中作出y＝sin z与直线y＝的图象，如图所示，然后观察在闭区间上的情况，在上适合sin z≤的z∈，根据诱导公式一知z∈，k∈Z，即－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z.所以－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z，