第3章 函数的概念与性质 章末复习方案（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

章末复习方案 探究一　函数的解析式与图象 函数的图象是函数的重要表示形式，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于正确地画出图象． 【真题1】 (2020·天津)函数y＝的图象大致为(　　) 答案　A 解析　方法一　令f(x)＝，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C，D项，由f(1)>0，排除B项．故选A项． 方法二　令f(x)＝，由f(1)>0，f(－1)<0，可排除B，C，D项．故选A项． 探究二　分段函数 一个分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数时，首先要确定自变量的取值属于哪一个区间段，从而选择相应的对应关系．作分段函数图象时，应根据定义域的不同区间上的解析式分别作出． 【真题2】 (1)(2021·浙江)已知a∈R，函数f(x)＝若f＝3，则a＝____. (2)(2022·浙江)已知函数f(x)＝则f＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________. 解析　(1)由题意可得f(f())＝f(6－4)＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，故a＝2. (2)由已知f＝－2＋2＝，f＝＋－1＝，所以f＝.当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1<x≤2＋；则1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋，所以[a，b]⊆[－1,2＋]，所以b－a的最大值为3＋. 答案 (1)2　(2)　3＋ 探究三　函数的奇偶性与单调性 函数的单调性与奇偶性都是函数的重要性质，是高考的重点内容之一，主要考查利用定义判断函数的单调性、奇偶性，利用函数的单调性与奇偶性之间的关系解决比较大小、求值或求最值、解方程(组)等方面的问题．高考题型有选择题、填空题，也有解答题，既有容易题与中等难度题，也有综合性的难题． 【真题3】 (1)(2022·1月浙江)已知函数y＝2ax3(a>0)，则此函数是(　　) A．偶函数且在(－∞，＋∞)上单调递减 B．偶函数且在(－∞，＋∞)上单调递增 C．奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递减 D．奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增 (2)(2020·新高考Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 解析　(1)令y＝f(x)＝2ax3，则函数y＝f(x)＝2ax3的定义域为R，且f(－x)＝2a(－x)3＝－2ax3＝－f(x)，所以函数y＝f(x)＝2ax3是奇函数，又因为a>0，所以函数y＝f(x)＝2ax3在(－∞，＋∞)上单调递增．故选D项． (2)由题意可知，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)在(0，＋∞)单调递减．又f(2)＝0，所以f(－2)＝0，所以xf(x－1)≥0可转化为或即或解得1≤x≤3或－1≤x≤0.故选D项． 答案 (1)D　(2)D 探究四　幂函数 在学习过程中，对幂函数的考查主要以选择题、填空题的形式出现，考查内容为幂函数的概念，幂函数的图象与性质及应用．常考查幂指数为1,2,3，－1，这几个特殊值的幂函数，一般为容易题． 【真题4】 (1)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)·，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，a＋1＋b<0，则f(1＋a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 (2)若f(x)＝，则满足f(x)＜0的x的取值范围是____. 解析　(1)因为函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，所以m2－m－1＝1，所以m＝2或m＝－1，所以f(x)＝x7或f(x)＝x－2.对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足>0，故f(x)是增函数，所以f(x)＝x7.若a，b∈R，a＋1＋b<0，即a＋1<－b，所以(a＋1)7<(－b)7，即(a＋1)7<－b7，即(a＋1)7＋b7<0，则f(a＋1)＋f(b)＝(a＋1)7＋b7<0.故选B项． (2)令y1＝x，y2＝，f(x)＜0，即为y1＜y2，函数y1＝x，y2＝的图象如图所示，观察图象，当0＜x＜1时，y1＜y2，所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(0,1)． 答案 (1)B　(2)(0,1) 探究五　函数新定义问题 定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件、具备的性质，或者给出已知函数，再定义一个新概念，把数学知识与方法迁移到一段阅读分析材料中，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方