专题16 利用导数研究方程与不等式-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

专题16利用导数研究方程与不等式 一、核心体系 二、关键能力 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题。 三、教学建议 利用导数研究函数的零点(方程根)的问题，是高考的重点，常出现在解答题的某一问中，难度偏大，主要命题角度有：(1)利用最值(极值)判断零点个数；(2)构造函数法研究零点问题． 利用导数研究不等式问题是高考中的常考点，主要出现在解答题中，难度较大，主要命题角度有：(1)证明函数不等式；(2)不等式恒成立问题；（3）解不等式；（4）比较大小 四、高频考点 1．与函数零点有关的参数范围问题 （1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）求极值的步骤： ①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）； ②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点. （3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. （4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标. 2．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． ： 3．利用导数证明、解不等式问题 无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝. 五、重点题型 考点一、函数零点个数的判断与证明 例1-1（2020·浙江省高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．证明：函数在上有唯一零点； 例1-2（2021·河北省）函数在上的零点个数为 例1-3（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数,为的导函数.求证:有且仅有两个不同的零点. 例1-4 (2020·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝ex－a(x＋2)．若f (x)有两个零点，求a的取值范围． 例1-5（2022徐州高三上学期期中T22） 训练题组一（利用零点存在性定理与单调性证明（判断）判断零点） 1.（2020届山东省菏泽一中高三）已知函数,为的导函数.求证:在上存在唯一零点; 2.（2019·全国高考真题（理））已知函数.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； 3.设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数． 训练题组三（区间扫描法判断（证明）函数零点） 1.（2019·全国高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：有且仅有2个零点． 训练题组四（已知函数零点求参） 1.（2020·全国高考真题（文））已知函数．若有三个零点，求的取值范围． 考点二、证明不等式 例2-1.已知函数,当时，求证：； 例2-2.已知函数f(x)＝xln x－ax，证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立. 例2-3.已知函数，若，求证：. 例2-4.已知函数f(x)＝xe－x ，若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 训练题组一（利用函数的最值证不等式） 1、已知函数f(x)＝ex－x(其中e是自然对数的底数)，g(x)＝x2＋1. (1) 求证：f(x)≥1； (2) 当x≥0时，求证：f(x)≥g(x)． 2、已知函数f(x)＝lnx+x，求证：f(x)≤xex－1. 　 3、已知函数g(x)＝ex－1，当x∈[2，＋∞)时，证明：g(x)>2x(x－1)； 训练题组二（利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式） 1.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝．证明：g(x)<1． 2.已知f(x)＝xln x． (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立． 训练题组三（先放缩，后利用函数最值，证明不等式） 1.已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x，证明：(x－ln x)f(x)>1－. 训练题组四（极值点偏移问题） 1、已知函数f(x)＝a－－lnx(a∈R)，若f(x)有两个零点x1，x2 (x1< x2)，求