8.6.2直线与平面垂直 讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 ●直线与平面垂直的判定 一、知识要点 思考1、在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化,你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？ 思考2、如图直线AB与平面α内过B的所有直线 .那么对于平面内不经过点B的直线呢? 理论依据：根据异面直线所成角可得AB⊥B′C ′. ∴ AB与平面α内的所有直线垂直.记作⊥． ★直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作：l ⊥α l 叫做α的垂线, α叫做l 的垂面, l 与α的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。 ①“任何”表示 “所有”. ②定义包含着哪些含义？ 1.如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则 l ⊥α . 2.如果l ⊥α ,则直线 l 与平面 α内的任意一条直线都垂直. 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质. 简记为：线面垂直则线线垂直 思考3、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有 。 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 思考4、有没有方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ 准备一块三角形的纸片，做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），那么：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ 结论： 思考1、图中平面内与折痕AD垂直的直线有几条?它们有什么位置关系? 思考2:你能得到直线与平面垂直的判定定理吗?有什么位置关系? ★直线与平面垂直的判定定理： 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 简记为 线线垂直则线面垂直 二、基础知识要点 1、判断题 （1）若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直。 （ ） （2）若直线与平面内的所有直线垂直，则直线与平面垂直。 （ ） （3）若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直。 （ ） （4）若直线与平面内的两条直线垂直，则直线与平面垂直。 （ ） 2、直线平面，直线，则与的位置关系为 3、已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　) A.α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥β C.m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β 四、典例讲解 例1、如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。 注：证明线面垂直的又一方法，符号表示为： 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证BC1⊥面A1 DCB1. 例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D 巩固练习1：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=，求证：PD⊥平面ABCD 巩固练习2：如图，已知PA垂直于☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC ●直线与平面垂直的性质 一、知识要点 ★1、直线和平面所成的角 如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角. 想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?结论： 二、基础练习+典例讲解 试一试1：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 试一试2：过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC （1）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的_______心 （2）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的_______点 （3）若PA⊥PB，PB⊥P