6.8余角和补角 课件 2023-2024学年数学浙教版七年级上册

6.8   余角和补角 数学浙教版 七年级上 台球比赛中，一次被击打母球的线路如图．若角∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？ 导入新课 观察，∠1+∠2与 Rt∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ 1 2 A O B 观察 ，∠α+∠β与 ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ α β 新课讲解 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角． 互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °． 如图∠1与∠2互为余角， ∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．数学表达式：∠1＋∠2＝ 90 °． 新课讲解 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角． 互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 °． 如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角．∠AOC＋∠BOC ＝180 ° 新课讲解 3、1与2互补，除用符号语言表示为1＋ 2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为1＝180°－2，或 2＝180°－1． 1、定义中的“互为”一词如何理解？ 2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？ 如果1与2互余，那么1的余角是2，2的余角是1． 互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边． 新课讲解 1、如图，已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°．图中有没在互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由． 解：∠1与∠3互余，∵∠1+∠3=90°，∴∠1与∠3互余． ∠1与∠2互补，∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补． 学以致用 2、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由． 3、填空： （1）∠α的余角=90°-_______． （2）∠β的余角=_______-∠β． ∠α 90° 互补的角：∠AOC和∠BOC， ∠AOD和∠BOD． 互余的角：∠BOD和∠COD． 学以致用 如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是 BOC内的一条射线．回答下列问题： （1）图中 DOC的余角有______________． （2）图中 AOD的余角有______________． （3） 通过上述两小题你能得到什么结论？  AOD与COE  DOC与BOE 同 角(等角)的 余 角 相 等 ∵  AOD +  COD =90°， COE +  COD = 90°， ∴  AOD=  COE． （4） AOD和COE的补角分别是_______________． （5）通过此题，你又能得到什么结论？  BOD与BOD 同角（等角）的补角相等 新课讲解 同角或等角的余角相等． 若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ． 同角或等角的补角相等． 若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ． 新课讲解 例1 如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由． 解：∠AOB=∠COD． 理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠， ∴∠AOB+∠BOC=Rt∠， ∠COD+∠BOC=Rt∠． 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， ∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）． 新课讲解 如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC． （1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角； （2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数； （3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？ 解：（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE； （2）∵OD平分∠BOC，∠BOC=68°， ∴∠COD= ∠BOC= ×68°=34°， ∵∠BOC=68°， ∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-68°=112°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC= ∠AOC= ×112°=56°； 学以致用 （3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， ∴∠COD=　∠BOC，∠EOC=　∠AOC， ∴∠COD+∠EOC=　 （∠BOC+∠AOC）=　 ×180°=90°， ∴∠COD与∠EOC互余． 学以致用 例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． 解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度，补角是(180－x)度，由题意得, 180－x=4(90－x)， 解