专题2.10 探索与表达规律（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题2.10 探索与表达规律（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】探索规律的一般方法 (1)从具体的、实际的问题出发，观察各个事物的特点及相互之间的变化规律； (2)由此及彼，合理联想,大胆猜想； (3)善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点； (4)总结规律，得出结论，并验证结论是否正确。 【知识点2】常见规律类问题 (1)对于有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式入手，观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分，数与算式的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律； (2)探索图形变化的规律，要注意观察图形，分析图形特点及数量的关系，由特殊到一般，从不同的角度探索，最后用代数式表示出一般规律，不同代数式表达的结果可根据去括号和合并同类项法则化简,最终结果是一致的。 特别说明： 1.若是整数,可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律,也可以是奇、偶、平方等方面的规律； 2.若是等式,可将每个等式对应写好,然后比较每一行、每一列数或式子之间的关系,从而找出规律； 3.若是分数,可观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。 【类型一】数字规律类型问题 【考点一】利用列举法探索规律 【例1】仔细观察下列三组数： 第一组：1、4、9、16、25… 第二组：0、3、8、15、24… 第三组：0、6、16、30、48… 解答下列问题： (1) 每一个组的第7个数分别是______、______、______． (2) 分别写出第一组和第三组的第n个数：______、______． (3) 分别取每组数的第8个数，并计算它们的和． 【答案】(1)49，48，96； (2)，；(3)253 【分析】（1）第一组是从1开始连续自然数的平方，第二组比第一组对应的数字少1，第三组数字是第二组对应数字的2倍； （2）根据（1）中规律列式即可； （3）求出每组的第8个数，再相加即可． 解：每一个组的第7个数分别是49，48，96； （2）第一组的第n个数为， 第三组的第n个数为； （3）第一组的第8个数为64， 第二组的第8个数为63， 第三组的第8个数为126， ∴． 【点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． 【变式1】符号“”表示一种运算，它对一些数的运算规律如下，，，，…；利用以上规律计算 ． 【答案】 【分析】由，，，，…发现规律为，然后进行求解． 解：由，，，，…发现规律为， 由可得， 故答案为：． 【点拨】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，掌握数字类规律求法基本步骤． 【变式2】如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么的值是 ．    【答案】131 【分析】通过观察可得前a行共有个数，再由第44行最后一个数是1936，可得2022在第45行第86个数，从而求出m、n的值，然后再求和即可． 解：第一行1个数， 第二行3个数， 第三行5个数，……， 第a行个数， ∴前a行共有个数， ∴第45行最后一个数是2025， ∴2022在第45行第86个数， ∴， ∴． 故答案为：131． 【点拨】本题主要考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键． 【考点二】利用周期探究法探索规律 【例2】如图，每个格子中都是整数，若任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从左边第一个格子开始向右数，第2021个格子中的数为 ． 2 2 3 … 【答案】2 【分析】由表格知第三个格子只能是3，且表格中数，2，3循环出现，按此循环即可求出结果． 解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴表格中所填数为，2，3，，2，3，…… ∴表格中数，2，3循环出现， ∵， ∴第2021个格子中的数为2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了数字规律的探索，找到规律是关键． 【变式1】当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为，若，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”…依次类推，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算发现的值分别按照依次循环的规律再求解． 解：∵， ∴， ， ， …… ∴的值分别按照依次循环， ∴， 故选A． 【点拨】本题考查了数式规律题，解题关键是发现规律并正确计算． 【变式2】观察下列算式：；；；；；；；，通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 【答案】 【分析】通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此规律算出第个算式的个位数字即可． 解：通过