专题06 用空间向量研究距离、夹角问题10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题06 用空间向量研究距离、夹角问题10种常见考法归类 1．空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 2．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| （注：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d＝||＝＝） 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，Pl，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝ 3．空间距离的定义 (1)图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离． (2)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． (3)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离． (4)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离． 4.求点到平面的距离的四步骤 注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　 5.求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离． (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求． (3)等体积法：求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点A到平面BCD的距离，用等体积法求得h＝. (4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝. 6．向量法求空间距离的注意点 (1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解． (2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式．设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点A，B，则距离d＝.(如图) (3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的． 7.求异面直线所成的角主要方法有两种： 一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解； 注：用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角． 二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解． 8．两条异面直线所成的角的两个关注点 (1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． (2)范围：异面直线所成的角θ∈，故两直线的方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值． 9.求直线与平面的夹角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤． (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)求平面的法向量n； (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝. 10.求线面角的两种方法 (1)将线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为两条直线所成的角来求解，此时要注意两直线所成角的取值范围． (2)向量法．设直线AP的方向向量为a，平面α的法向量为n，所求直线与平面所成的角为θ(θ∈[0，])，a与n的夹角为φ，则 sinθ＝|cosφ|＝.求解步骤如下： ①分析图形关系，建立空间直角坐标系； ②求出直线的方向向量a和平面的法向量n； ③计算：设线面角为θ，则sin θ＝； ④判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ. 11.二面角与平面的夹角区别和联系 （1）二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是. （2