2022-2023学年高二物理竞赛课件：电路的泰勒级数

电路的泰勒级数 1 2 电路的泰勒级数 幂级数的和函数 由上节课已知： 在其收敛圆内部是一个解析函数。 问题： 任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？即解析函 数能否展开成一个幂级数？ 定理 3 注 ⑴ 称为 的泰勒展开式。 右端级数称为 在 点的泰勒级数。 泰勒系数 ⑵ 若 在 点解析，则上式成立的圆域的半径为 到 的距 最近的一个奇点a之间的距离，即 即 在收敛圆周上至少有一个奇点。 4 设函数f(z)在区域D内解析, K是D内任意圆周 K及K 的内部全含于D, z 为K内任一点， （如图） 由柯西积分公式，有 证 5 于是，有 记为 由数 高公 阶式 导 6 于是 下证 7 注：K的半径可以任意增大，只要K 在D内. 由 式可得 再说明展开式唯一： 同理可得 所以，任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数， 且展开式是唯一的。 则 8 同高等数学，对给定的解析函数，可直接套用泰勒公式而得 到其泰勒展开式，称为直接法； 也可借助于一些已知函数的 展开式，利用幂级数的性质得其泰勒展开式，称为间接法。 常用的展开式： z平面 9 解 对上式两边逐项求导，即得展开式 把函数 展开成 的幂级数. 例1 10 解 （P143、11）把函数展开成 z 的幂级数，指出其收敛半径. 例2 11 而 所以 12 （P143、12）求 6） 例3 在 处的泰勒展开式， 指出其收敛半径。 解 由 得 且由 收敛半径为： $$