2022-2023学年高二物理竞赛课件：电路的的高阶导数

电路的的高阶导数 2 电路的的高阶导数 其中C为D内围绕 z0 的任何一条正向简单闭曲线，且它 的内部全含于D。 特别地， 定理 仍为解析函数， 区域D内的解析函数f (z)的导数 它的n阶导数为 3 证 设 为区域D内的任意一点， 先证当 时的情形， 即证 由导数的定义，有 所以只要证明 即可。 由柯西积分公式，有 4 5 设后一个积分为I，则 在C上解析，所以在C上连续， 在C上有界，即 使 设 d 为 到C上各点的最短距离， 并取的 适当小，使其满足 则 6 用同样的方法，可求得 证毕 注 公式 常用作求积分： 7 例1 解 8 9 证 例2（Morera莫瑞拉定理）设函数 f(z) 在单连通域B内连续， 则f(z)在B内解析. 且对于B内任何一条简单闭曲线C，都有 即积分与路径无关 10 注 定义 若调和函数 满足 （P102: 25） 计算问题 常用方法： 偏积分法、线积分法、不定积分法 则称v是u的 由上面的定理，有：对于解析函数 已知调和函数u，求它的共轭调和函数，从而得 相应的解析函数 虚部v 是实部u 的共轭调和函数，但u不是v的共轭调 和函数. 柯西—黎曼方程 11 法1（偏积分法） 例1 证 由已知，得 由⑴，两边对x求积分 求 的方法： 12 两边对y求导数，有 代入⑵，得 法2（线积分法） $$