第03讲 二次根式（知识+题型，重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第03讲 二次根式（重难点） 【知识点一、二次根式的概念】 一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 说明：二次根式的两个要素：①根指数为2； ②被开方数为非负数． 【知识点二、二次根式的性质】 1．≥0，（≥0）； 2． （≥0）； 3．. 4．积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）. 5．商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即（≥0，>0）. 注意：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即. （2）与要注意区别与联系： ①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。 ②≥0时，==；<0时，无意义，=． 【知识点三、最简二次根式】 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式． 注意：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式． 【知识点四、二次根式的乘除】 1．乘法法则： （≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 注意：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. （3）若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2．除法法则： （≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 注意：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. （2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 【知识点五、二次根式的加减】 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： ①将每个二次根式都化简成为最简二次根式； ②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； ③合并同类二次根式. 【知识点六、二次根式的混合运算】 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 注意：（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； （2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； （3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【知识点七、分母有理化】 1．分母有理化 把分母中的二次根式化去叫做分母有理化. 2．有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式. 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式. ②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式. 注意：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式. 题型一 二次根式有意义的条件 例1．式子范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1-2】、二次根式中，字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二 最简二次根式 例2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、下列二次根式中：，，，，，最简二次根式的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练2-2】、如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ） A．11 B．13 C．21 D．27 题型三 二次根式的乘除 例3．计算的结果是 ． 【变式训练3-1】、计算：（）=　 .. 【变式训练3-2】、计算： (1)． (2) (3)． (4)． 例4．化简的结果是 ． 【变式训练4-1】、计算的结果为 ． 【变式训练4-2】、计算 (1). (2). (3). (4). 题型四 二次根式的加减 例5．下列运算正确的是（    ） A． B． C