第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第02讲　同角三角函数基本关系式及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 一．同角三角函数基本关系式的应用 命题点1 sinα、cosα、tanα的知一求二 例1．（1）若，且为第四象限角，则的值等于（ ） A． B． C． D． （2）已知，，则（     ） A．0和 B． C． D．和0 （3）已知角的终边在第三象限，且，则（     ） A． B．1 C． D． （4）已知,,则______. （5）已知，且角在第三象限，求和的值. 【复习指导】：(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)知一求二，解决这类问题首先要确定角所在的象限，其次就是要确定所求三角函数值的符号，最后再利用相关公式进行计算。 (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 命题点2 sin α±cos α，sin αcos α的知一求二 例2．（1）已知为三角形的内角，且，则（　　） A． B． C． D． （2）若是三角形的一个内角，且，则三角形的形状为（     ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 （3）已知，且，则（     ） A． B． C． D． （4）已知，则（     ） A． B． C． D． （5）（多选）已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 命题点3 齐次式的化简求值 例3．（1）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． （2）已知，那么的值是（     ） A． B． C．3 D． （3）已知，则＝（     ） A． B．2 C． D．6 （4）已知，且，则（     ） A． B． C． D． （5）已知，则______． （6）已知，则的值为___________. 命题点4 同角三角函数基本关系式的综合应用 例4．（1） “”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （2）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． （3）（多选）若是第二象限的角，则下列各式中成立的是（     ） A． B． C． D． E． （4）已知是第二象限的角.化简：的值为____________. （5）若，则 ． （6）求证: ①; ②; ③. 【复习指导】：三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 二．诱导公式的应用 例5．（1）（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. （2）已知角终边上一点，则（     ） A． B． C．3 D．5 （3）已知，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：解决化简求值问题（凑角法）的策略： (1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． 提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等． （4）已知，则＝（     ） A