专题06 数列中的恒成立和存在性问题-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

专题06 数列中的恒成立和存在性问题 1．设为正项数列的前项和，满足. （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）设（其中是自然对数的底数），求证：. 2．已知数列是首项的等差数列，设. (1)求证：是等比数列； (2)记，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值. 3．已知数列的前n项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 4．设． （1）当时，求证：； （2）证明：对一切正整数n，都有． 5．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 6．已知数列中，，点 ，在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，Sn为数列的前 n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由. 7．记为数列的前项和，已知．证明： (1)为等比数列； (2)． 8．已知数列的前n项和为，． (1)求； (2)若，对任意的，，，求 的取值范围． 9．已知等差数列 满足：的前n项和为 ． (1)求及 ； (2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围． 10．已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围． 11．已知等比数列的前项和为，且，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 12．设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立. (1)求数列，的通项公式； (2)设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 13．已知数列、满足，，，﹒ (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 14．已知正项数列的首项，前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 15．已知各项为正数的数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 16．函数满足，，且与直线相切. (1)求实数，，的值； (2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 17．已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 18．已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 19．设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求； (3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 20．已知数列的前n项和为，且，，． (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 21．已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 22．若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 23．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 24．已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值． 25．已知数列的前n项和为 (1)证明：数列{}为等差数列； (2)，求λ的最大值． 26．已知函数，其中 (1)当时，求； (2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数. 27．已知数列的前项和为 (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.