专题06 利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(浙教版）

专题06 利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 几何图形中的最小值问题】 1 【类型二 实际问题中的最短路径问题】 13 【类型三 一次函数中线段和最小值问题】 19 【类型四 一次函数中线段差最大值问题】 28 【典型例题】 【类型一 几何图形中的最小值问题】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式训练】 1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．7 B．9 C．10 D．14 2．（2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．4 B．9 C．11 D．13 3．（2022春·七年级单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是 ． 5．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．    6．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是 ．    7．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 8．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． 求证：；    【类比探究】 （2）如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想并证明：①与的位置关系为：___________；②线段、、之间的数量关系为：___________． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、． 请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【类型二 实际问题中的最短路径问题】 例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 2．（2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米， (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个