1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　空间中直线、平面的平行 [对应学生用书P20] 学习目标 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系． 2．会用直线的方向向量、平面的法向量判断或证明空间中的平行关系． 知识点一　线线平行的向量表示 如何用直线的方向向量判断两条直线平行？ 直线与直线平行 　设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． [例1] 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. [解题笔记] 证明：方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M(3，0，)，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，). 则，分别为MN，RS的方向向量， 所以＝(－3，2，)，＝(－3，2，)， 所以＝，所以∥， 因为M∉RS，所以MN∥RS. 方法二　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c， 所以＝，所以∥. 因为R∉MN，所以MN∥RS. [练1] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明：以点D为坐标原点，分别以，， 为正交基底建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为1， 则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)， ∴＝(－1，0，)， ＝(－1，0，)， ＝(0，1，)，＝(0，1，)， ∴＝，＝，∴∥，∥， 又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形． 知识点二　线面平行的向量表示 如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面的平行关系？ 直线与平面平行 　设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． [例2] 在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. [解题笔记] 证明：如图所示，D是坐标原点，建立空间直角坐标系， 设PD＝DC＝a，连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，B(a，a，0)，E(0，，). 方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝(0，，)，＝(a，，－)， 则有，即 即令z＝1，则 所以n＝(1，－1，1)， 又＝(a，0，－a)，所以n·＝a－a＝0，所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为(，，0)，所以＝(，0，－). 又＝(a，0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即(a，0，－a)＝λ(0，，)＋μ(a，，－)， 则有解得， 所以＝－＋，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. [练2] 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1). ＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则即 解得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2). 因为n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. 知识点三　面面平行的向量表示 由平面与平面的平行关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 平面与平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． [例3] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? [解题笔记] 解：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q. 设正方体的棱长为1，则O(，，0)，P(0，0，)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则Q(0，1，m). 方法一　因为＝(－，－，)，＝(－1，－1，1)，所以∥，于是OP∥BD1，＝(－1，0，)，＝(－1，0，m)，当m＝时，＝，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，故当Q为CC1的中