专题02空间向量基本定理（2个知识点3种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题02空间向量基本定理（2个知识点3种题型） 【目录】 倍速学习三种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：空间向量基本定理 知识点2：空间向量的正交分解 【方法二】 实例探索法 题型1：空间向量基本定理及相关概念的理解 题型2：空间向量基本定理的应用——用空间的基底表示空间向量（高频考点） 题型3：利用空间向量基本定理解决立体几何问题（高频考点） 【方法三】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【例1】（2022秋•邢台期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，则x+y+z＝（　　） A．1 B． C． D． 【变式1】（2022秋•黄山期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A．+，，﹣ B．，+，﹣ C．+，﹣， D．+，++， 【变式2】（2022秋•新余期末）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2022秋•广州期末）设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 【变式4】（多选）（2022秋•泰山区校级月考）已知是空间的一个基底，若，则错误的是（　　） A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底 C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底 【变式5】（多选）（2022秋•深圳校级期末）设{，，}是空间一个基底，则下列选项中正确的是 （　　） A．若⊥，⊥，则⊥ B．+，+，+一定能构成空间的一个基底 C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使＝x+y+z D．存在有序实数对，使得＝x+y 【变式6】空间向量，，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？ 【变式7】已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？ 【方法二】实例探索法 题型1：空间向量基本定理及相关概念的理解 1.下列关于空间向量的命题中，正确的有______. ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； ②若非零向量，，满足，，则有； ③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； ④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底. 题型2：空间向量基本定理的应用——用空间的基底表示空间向量 若未给定基底，则先选择基底，选择时，要尽量选择共起点的三个向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求。基底确定后，利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把目标向量逐步分解，向基底靠近，最后化简整理求出结果。 2．（多选题）如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（       ） A． B． C． D． 3．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长． 题型3：利用空间向量基本定理解决立体几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 4.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____. 5.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知，，，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底表示向量. 6.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 7.已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. （1）求证：，