期末压轴解答题汇编-广东省2022-2023学年高一上学期数学期末试题

2022~2023学年广东省高一上学期数学期末试题汇编：最后压轴解答题（原卷版） 1. （2023年广东省肇庆市）已知函数（a为常数，）． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 2. （2023年广东省佛山市）已知，，其中且． （1）若，，求实数的取值范围； （2）用表示中的最大者，设，讨论零点个数． 3. （2023年广东省深圳市龙华区）已知函数. （1）若，证明：； （2）若是定义在上的奇函数，且当时，. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求方程的所有根. 4.（2023年广东省深圳市龙岗区）已知常数，函数. （1）当时，求不等式的解集（用区间表示）； （2）若函数有两个零点，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围. 5. （2023年广东省湛江市）设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数. （1）若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围； （2）设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围. 6. （2023年广东省东莞市）已知函数是定义在上奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求在上的解析式； （3）若函数有零点，求实数的取值范围． 7. （2023年广东省深圳市宝安区）已知函数. （1）当时，对任意的，令，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （2）若关于x的方程有3个不同的根，求n的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022~2023学年广东省高一上学期数学期末试题汇编：最后压轴解答题（解析版） 1. （2023年广东省肇庆市）已知函数（a为常数，）． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶； （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，即，解得， 所以时，函数是偶函数， 当时，即，解得， 所以时，函数是奇函数， 综上所述，当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； 当时，函数是非奇非偶函数 【小问2详解】 为偶函数，根据（1）可知 对于任意的，都有成立，故即， 因为，所以对恒成立， 设，， 任取，且，即， 则 ， 因为，所以，可得，即 所以在上为减函数，，故 所以实数m的取值范围是 【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论： ①存在解；恒成立； ②存在解；恒成立； ③存在解；恒成立； ④存在解；恒成立 2. （2023年广东省佛山市）已知，，其中且． （1）若，，求实数的取值范围； （2）用表示中的最大者，设，讨论零点个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数值域可知，结合且可得结果； （2）当或时，由（1）可知无零点；当时，由，结合可知恰有个零点；当和时，结合零点存在定理可确定的零点个数. 【小问1详解】 对，恒成立，，解得：， 又且，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①若或，则由（1）知：恒成立，此时无零点； ②若，则当时，， 又，恰有个零点； ③若，则当时，； 当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点； 又，恰有个零点； ④若，则当时，； 当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点； 又，恰有个零点． 综上所述：当时，的零点个数为；当时，的零点个数为；当时，的零点个数为． 【点睛】思路点睛：本题考查含参数函数零点个数的讨论，解题的基本思路是根据二次函数和对数函数的单调性，通过对参数范围的讨论，结合零点存在定理确定零点的个数 3. （2023年广东省深圳市龙华区）已知函数. （1）若，证明：； （2）若是定义在上的奇函数，且当时，. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求方程的所有根. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ），， 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得； （2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程转化成曲线与直线的交点情况，结合函数的图象和性质即得. 【小问1详解】 证明：因为， 所以，， 由基本不等式，当时，， 即， 即； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意得，当时，， 因为是定义在上的奇函数，所以，代入上式成立， 即当时，， 设，则，所以， 所以； （ⅱ）方程转化成曲线与直线的交点情况， 当时，与交于点和点， 由（1）知的图象总是向上凸的，所以除外不会有其它交点， 同理，当时