第2讲 公式法解决等差数列问题 -四年级数学上册 数学思想方法系列（人教版）

第2讲 等差数列中的奥秘 把一些数按照一定顺序排成一列叫做数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数（项的个数）叫做项数。像： 0 1 2 3 4 5 6 ······ 2 4 6 8 10 12······ 1 4 7 10 13 16······ 100 90 80 70 60······ 从第2项起，每一项与前一项的差是同一个数。这个数列叫做等差数列。等差数列常见问题公式： · 第n项=首项+(n-1)公差 · 项数=(末项-首项)÷公差+1 · 和=(首项+末项)项数÷2 【例题1】有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（ ）。 A．47 B．49 C．51 D．53 思路分析:由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2． 规范解答: ． 答：第20个数是47． 故选：。 【例题2】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有4根圆木，每向下一层增加二根，一共堆了28层，那么最下面一层有（ ）根． 思路分析:本题看作是等差数列，首项是4，公差是2，项数是28，求末项，根据高斯求和相关公式：末项首项（项数公差解答即可． 规范解答: （根 答：最下面一层有 58根． 【例题3】粗心的俊俊想要计算“”的和，但他不慎把其中的一个数加了两次，结果得到了64．那么，俊俊把（ ）加了两次． 思路分析:按照正确的计算一下，再找出两次的数字差即可求解． 规范解答:正确的做法是 原式 ； 算错的结果是64，其中有一个数字计算两次， ； 【例题4】在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3块巧克力组成，第二个雕塑由6块巧克力组成，第三个雕塑由9块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3块巧克力．那么，第（ ）个雕塑恰好由2013个巧克力组成． 思路分析:先观察，显然这些雕塑的巧克力块数组成一个首项为3，公差为3的等差数列，可以先求出数列的通项公式，再算第几项为2013 规范解答:根据分析，这些雕塑的巧克力块数组成一个首项为3，公差为3的等差数列，设此数列第项为，则 由题意， 故答案为：671 【例题5】有这样一列数:1，2，3，4，5，…，99，100，请求出这列数各项相加的和。 思路分析:如果把数列1，2，3，4，5，……，99，100这100个数配对，如:1+100，2+99，3+98，4+97，…，50+51，每对的和都是101，一共有100个数，2个配一对，一共可以配50对。这样就可以求出这100个数的和。 规范解答:1+2+3+4+5+…+99+100 =(1+100)100÷2 =5050 1．等差数列求项数 （1）有一列数:4，10，16，22，…，52，这个数列一共有多少项? （2）有一个等差数列，首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项? 2．等差数列求末项 （1）有一个等差数列:1，4，7，10，…，这个等差数列的第30项是多少? （2）有一个等差数列:3，7，11，15，…，这个等差数列的第100项是多少? 3．等差数列求和 （1）求2+4+6+8+…+98+100的和。 （2）有一列数:3，6，9，12，…，99，请求出这列数的和。 4．利用等差数列解决问题 （1）一箱苹果，第一次从箱里拿出1个，第二次拿出3个，第三次拿出5个，以后每次比前一次多拿2个，10次刚好拿完。这箱苹果一共有多少个? （2）一个电影院设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个电影院一共设置了多少个座位? 1．若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是（ ）． 2．在数列5，12，19，中，从左往右数第（ ）个数是2007． 3．小明发现在2012年3月的日历某一列上的5个日期的数字之和是80，那么这一列上的第二个日期是（ ）号． 4．若五个连续偶数的和是320，这五个偶数中最小的一个是（ ）． 5．某收购站依墙堆放着同样大小的玻璃瓶（如图）．这堆玻璃瓶共有（ ）个． 6．刘大妈做一批工艺鞋，第一天做了8双，第二天起手艺越来越熟练，每天都比前一天多做2双，最后一天做了24双．她一共做了（ ）天？ A．7 B．8 C．9 D．10 7．小明看一本故事书，第一天看25页，以后每天都比前一天多看3页，第五天从（ ）页开始看。 8．药店有5000个口罩，前三天每天卖200个口罩（只卖不进），之后每天白天卖出800个，晚上买进700个，第（ ）天刚好第一次卖光。 应用变式： 1．（1）(52-4)÷(10-4)+1=9(项) 答: