2023--2024学年初升高数学暑假衔接（通用版）学案：基本不等式（教师版）

第2.3章 一元二次函数、方程与不等式 2.3.2 基本不等式 高中要求 1掌握基本不等式（），探索并了解基本不等式的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【题型1】 对基本不等式的理解 【典题1】 求函数的最值. 误解 ，故最小值是. 误解分析 误解中套用基本不等式，，忽略了的前提条件！ 正解 ， (当取到等号) ，故函数的最大值为，没有最小值. 【典题2】 求函数的最值. 误解 误解分析 套用基本不等式，满足均为正数，但是最后求不出最值， 因为不是一定值. 正解 .(当时取到等号) (通过凑项得到定值“”) 故函数的最小值为，没有最大值. 变式练习 1.已知为实数，且，则下列命题错误的是 ( ) A．若，则　　　 B．若，则 C．若，则　　　　 　　D．若，则 答案 2.函数的最大值为 . 答案 解析 ， (当取到等号) ，故函数的最大值为. 【题型2】 基本不等式常见的解题方法 方法1 直接法 【典题1】 下列命题正确的是(　　) A．函数的最小值为 B．若且，则 C．函数的最小值为 D．函数的最小值为 解析 错误，当时或时不成立；正确， 因为，所以，且；错误， 若运用基本不等式，需，无实数解；错误， 答案： 变式练习 1.已知，且，则( ) A. B. C. D. 答案 解析 由，且 ，当且仅当时等号成立 . 2，已知，且，则的最小值为 答案 解析 ，，且， 由基本不等式可得，当且仅当即，时取等号， 解可得，即的最小值． 方法2 凑项法 【典题1】函数的最小值是 . 解析 因为， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值． 变式练习 1.若，则函数的最小值为 . 答案 解析 ，函数， 当且仅当时取等号． 函数的最小值为．故选：． 方法3 巧“1”法 【典题1】 若正数满足，则的最小值是 . 解析 ，， ，当且仅当时等号成立. 变式练习 1.已知且，则的最小值为 . 答案 解析 ， ， 当且仅当，即时，取等号. 2.若正数满足，则的最小值是 . 答案 解析 ， 当且仅当时等号成立. 1.若，则下列不等式中一定成立的是( ) A、 B、 C、 D、 答案 解析 设，，. 2.已知实数，满足，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 答案 解析 由，知，故选． 3.若，则函数 (　　) A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 答案 解析 因为，所以. 所以.当且仅当时，等号成立，故函数有最大值. 答案： 4.下列不等式正确的是(　　) 答案 解析 由基本不等式可得，，故正确； 由可知，不一定成立； 当，时，； 当时，不成立. 故选：． 5.下列命题中正确的是(　　) A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 答案 解析 选项必须保证，，同号．选项应取到等号，若，则， 选项应该为，故选：． 6.若，则的最小值为 答案 解析 ，当，即时，取到等号. 7.已知，如果，那么的最小值为________；如果，那么的最大值为________． 答案 解析 因为，所以， 所以. 故当时，取最小值，此时. 又当时，.所以. 8.已知，则的最小值是 ． 答案 解析 ， (当，即时取到等号). 的最小值是. 9.若正实数，满足，则的最小值为 答案 解析 根据题意，若正实数，，满足， 则， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为. 10.已知，，若，则的最大值为 . 答案 解析 正数，满足， ，， 解得， 故，当且仅当时取等号． 的最大值为. 11.设，求的最小值. 答案 解析 ， 设，则，于是有 当且仅当，即时取等号，此时． 当时，函数取得最小值是． 学科网（北京）股份有限公司 $