高效作业(八) 抛物线-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，人教版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(八)　抛物线 一、选择题 １．若动点M(x,y)到点F(４,０)的距离比它到 直线x＋５＝０的距离小１,则点 M 的轨迹方 程是 (　　) A．x＋４＝０ B．x－４＝０ C．y２＝８x D．y２＝１６x ２．若抛物线x２＝２py(p＞０)的焦点与椭圆y ２ ９ ＋x ２ ５＝１ 的上焦点重合,则该抛物线的准线 方程为 (　　) A．y＝－１ B．y＝１ C．y＝－２ D．y＝２ ３．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线 于P(x１,y１),Q(x２,y２)两点,如果x１＋x２＝ ６,则|PQ|＝ (　　) A．９ B．８ C．７ D．６ ４．已知点M 是抛物线x２＝４y上的一动点,F 为抛物线的焦点,A 是圆C:(x－１)２＋(y －４)２＝１上一动点,则|MA|＋|MF|的 最小值为 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ ５．已知F为抛物线C:y２＝６x 的焦点,过点F 的直线l与C 相交于A,B 两点,且|AF|＝ ３|BF|,则|AB|＝ (　　) A．６ B．８ C．１０ D．１２ ６．(多选)已知抛物线C:y２＝４x 的焦点为F, 准线为l,过点 F 的直线与抛物线交于点 P(x１,y１),Q(x２,y２),点P 在l上的射影为 P１,则 (　　) A．若x１＋x２＝６,则|PQ|＝８ B．以PQ 为直径的圆与准线l相切 C．设M(０,１),则|PM|＋|PP１|≥ ２ D．过点M(０,１)与抛物线C有且仅有一个公 共点的直线至多有２条 二、填空题 ７．已知抛物线C与双曲线x２－y２＝１有相同 的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方 程为　　　　． ８．设抛物线y２＝８x的准线与x轴交于点Q, 若过点Q 的直线l与抛物线有公共点,则 直线l的斜率的取值范围是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 三、解答题 ９．已知 过 抛 物 线y２＝２px(p＞０)的 焦 点, 斜率为 ２ ２的 直 线 交 抛 物 线 于 A(x１, y１),B(x２,y２)(x１＜x２)两点,且|AB|＝９． (１)求该抛物线的方程; (２)O为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC → ＝OA → ＋λOB →,求λ的值． １０．已知抛物线C:y２＝３x的焦点为F,斜率为 ３ ２ 的直线l与C 的交点为A,B,与x轴的交 点为P． (１)若|AF|＋|BF|＝４,求l的方程; (２)若AP → ＝３PB →,求|AB|． 结论: 抛物线中的常用结论 直线AB 过抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点, 交抛 物 线 于 A(x１,y１),B(x２,y２)两 点, 如图． (１)y１y２ ＝ －p２,x１x２ ＝p ２ ４． (２)|AB|＝x１＋x２＋p, x１＋x２≥２ x１x２＝p,即 当x１＝x２ 时,弦长最短为２p． (３) １|AF|＋ １ |BF| 为定值２ p． (４)弦长AB＝ ２p sin２α (α为AB 的倾斜角)． (５)以AB 为直径的圆与准线相切． (６)焦点 F 对A,B 在准线上射影的张角 为９０°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 设双曲线的方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０), 则有 (３)２ a２ － １ b２ ＝１ , a２＋b２＝４, ì î í ïï ï 解得 a２＝２, b２＝２．{ 故曲线C的方程为x ２ ２－ y２ ２＝１． １０．解析:(１)由 y＝kx－１, x２－y２＝１{ 消去y,得(１－k ２)x２＋２kx－２＝０． ∵直线l与双曲线C 有两个不同的交点, ∴ １－k２≠０, Δ＝４k２＋８(１－k２)＞０,{