高效作业(十八) 等比数列-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(十八)　等比数列 １．等比数列的有关概念 (１)定义:如果一个数列从第２项起,每一项 与它的前一项的比等于同一常数(不为零), 那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫 作等比数列的公比,通常用字母q表示,定义 的表达式为an＋１ an ＝　　　． (２)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么 G叫作a与b 的等比中项．即G 是a 与b 的 等比中项⇔a,G,b 成等比数列 ⇒G２＝　 　　． ２．等比数列的有关公式 (１)通项公式:an＝a１qn－１ 推广 ⇒ an ＝am􀅰 qn－m． (２)前n项和公式: Sn ＝ na１,q＝１, a１(１－qn) １－q ,q≠１, ì î í ï ï ï ï an＝a１qn－１ ⇒ Sn ＝ na１,q＝１, a１－anq １－q ,q≠１． ì î í ï ï ï ï ３．常用性质 (１)若m＋n＝p＋q＝２k(m,n,p,q,k∈N∗), 则am􀅰an＝ap􀅰aq＝　　　． (２)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则 {λan}(λ≠０), １ an{ },{a ２ n},{an􀅰bn}, an bn{ }仍 是等比数列． (３)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也 构成 一 个 等 比 数 列,即 an,an＋k,an＋２k, an＋３k,􀆺为等比数列,公比为　　　　． 一、选择题 １．(多选题)若{an}是等比数列,则下列说法正 确的是 (　　) A．{a２n}是等比数列 B．{an＋an＋１}是等比数列 C．１an{ }是等比数列 D．{an􀅰an＋１}是等比数列 ２．若等比数列{an}的各项均为正数,a１＋２a２＝ ３,a２３＝４a２a６,则a４＝ (　　) A．３８　　　　　　　　　　B． ２４ ５ C．３１６ D． ９ １６ ３．等比数列{an}的前n项和为Sn,若a３＋４S２ ＝０,则公比q＝ (　　) A．－１ B．１ C．－２ D．２ ４．在正项等比数列{an}中,已知a１a２a３＝４,a４a５a６ ＝１２,an－１anan＋１＝３２４,则n等于 (　　) A．１２ B．１３ C．１４ D．１５ ５．在等比数列{an}中,a３,a１５是方程x２＋６x＋ ２＝０的两根,则 a２a１６ a９ 的值为 (　　) A．－２＋ ２２ B．－ ２ C．２ D．－ ２或 ２ ６．(多选题)设等比数列{an}的前n项和为Sn, 且满足a６＝８a３,则 (　　) A．数列{an}的公比为２ B．数列{an}的公比为８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 C． S６ S３ ＝８ D． S６ S３ ＝９ 二、填空题 ７．设{an}是公比为正数的等比数列,若a１＝１, a５＝１６,则数列{an}的前７项和为　　　　． ８．等比数列{an}的首项a１＝－１,前n项和为 Sn,若 S１０ S５ ＝３１３２ ,则{an}的通项公式an＝　　 　　． ９．已知{an}是递减的等比数列,且a２＝２,a１＋ a３＝５,则{an}的通项公式为　　　　;a１a２ ＋a２a３＋􀆺＋anan＋１(n∈N∗)＝　　　　． １０．在数列{an}中,已知a１＝１,an＋１＋(－１)nan ＝cos[(n＋１)π],记Sn 为数列{an}的前n 项和,则S２０２０＝　　　　． 三、解答题 １１．设数列{an＋１}是一个各项均为正数的等比 数列．已知a３＝７,a７＝１２７． (１)求a５ 的值; (２)求数列{an}的前n项和． １２．在①数列{an}的前n项和Sn＝ １ ２n ２＋５２n ; ②函数f(x)＝sinπx－２ ３cos２π２x＋ ３ 的 正零点从小到大构成数列{xn},an＝xn＋ ８ ３ ;③a２n－an－a２n－１－an－１＝０(n≥２,n∈ N∗),an＞０,且a１＝b２ 这三个条件中任选 一个,补充在下面的问题中,若问题中的 M 存在,求出 M 的最小值;若 M 不存在,说明 理由． 数列{bn}是首项为１的等比数列,bn＞０,b２ ＋b３ ＝ １２,且 　 　 　 　,设 数 列 １ anlog３bn＋１{ }的前n 项和为Tn