高效作业(八) 向量在立体几何中的应用-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(八)　向量在立体几何中的应用 １．利用空间向量求距离 (１)两点间的距离 设点A(x１,y１,z１),点B(x２,y２,z２),则 |AB|＝|AB → |＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２＋(z１－z２)２． (２)点到平面的距离 如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段, n为平面α 的法向量,则B 到平面α 的距离 为|BO → |． ２．利用空间向量求角 (１)异面直线所成角 设异面直线a,b所成的角为θ,则　　　　, 其中a,b分别是直线a,b的方向向量． (２)直线与平面所成角 如图所示,设l为平面α 的 斜线,l∩α＝A,a 为l 的方 向向量,n 为平面α 的法向 量,φ为l与α所成的角,则sinφ＝　　　　 　　　． (３)二面角 平面α与β相交于直线l,平面α的法向量为 n１,平面β的法向量为n２,‹n１,n２›＝θ,则二 面角αＧlＧβ为θ 或π－θ．设二面角大小为φ, 则|cosφ|＝|cosθ|＝　　　　　． 一、选择题 １．如图所示,在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中, 已知 M,N 分别是BD 和AD 的中点,则 B１M 与D１N 所成角的余弦值为 (　　) A．３０３０　　　　　　　B． ３０ １５ C．３０１０ D． １５ １５ ２．已知向量n＝(２,０,１)为平面α的法向量,点 A(－１,２,１)在α内,则点P(１,２,２)到平面α 的距离为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 A．５５ B．５ C．２ ５ D．５１０ ３．如图,已知长方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,AD＝ AA１＝１,AB＝３,E 为线段AB 上一点,且 AE＝１３AB ,则DC１ 与平面D１EC 所成角的 正弦值为 (　　) A．３ ３５３５ B． ２ ７ ７ C．３３ D． ２ ４ ４．在棱长为１的正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中, E 为A１D１ 的中点,则点C１ 到直线CE 的距 离为 (　　) A．１３ B． ３ ３ C．５３ D． ６ ３ ５．在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,点E为BB１ 的 中点,则平面A１ED 与平面ABCD 所成的锐二 面角的余弦值为 (　　) A．１２ B． ２ ３ C．３３ D． ２ ２ ６．(多选题)如图,在直三棱柱 ABCＧA１B１C１ 中,AC＝BC＝AA１＝２,∠ACB＝９０°,D,E, F分别为AC,AA１,AB 的中点,则下列结论 正确的是 (　　) A．AC１ 与EF相交 B．B１C１∥平面DEF C．EF与AC１ 所成的角为９０° D．点B１ 到平面DEF的距离为 ３ ２ ２ 二、填空题 ７．已知２a＋b＝(０,－５,１０),c＝(１,－２,－２), a􀅰c＝４,|b|＝１２,则以b,c为方向向量的两 直线的夹角为　　　　． ８．已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平 面α的法向量,若cos‹m,n›＝－１２ ,则l与α 所成的角为　　　　． ９．在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,E 是C１D１ 的中点,则异面直线DE 与AC 所成角的余 弦值为　　　　． １０．如图所示,在四棱锥 PＧABCD 中,侧 面 PAD⊥底面ABCD, 侧棱PA＝PD＝ ２, PA⊥PD,底面ABＧ CD 为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD, AB＝BC＝１,O为AD 的中点． (１)直线PB 与平面POC 所成角的余弦值 为　　　　; (２)点B 到平面PCD 的距离为　　　　． 三、解答题 １１．已知正方形ABCD 的边长为１,PD⊥平面 ABCD,且PD＝１,E,F 分别为AB,BC 的 中点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋