高效作业(七) 空间向量与向量运算-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(七)　空间向量与向量运算 １．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的 直线　　　　　　 共面向量 平行于　　　　　　的向量 共线向 量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠０), a∥b⇔存在λ∈R,使a＝λb 共面向 量定理 若两个向量a,b不共线,则向量p 与向量a,b共面⇔存在唯一的有 序实数对(x,y),使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 及推论 定理:如果三个向量a,b,c 不共 面,那么对空间任一向量p,存在 唯一的有序实数组{x,y,z}使得 p＝xa＋yb＋zc． 推论:设O,A,B,C 是不共面的四 点,则对平面ABC 内任一点P 都 存在唯一的三个有序实数x,y,z, 使OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC → 且x＋ y＋z＝　　 ２．数量积及坐标运算 (１)两个空间向量的数量积:①a􀅰b＝|a||b| cos‹a,b›;②a⊥b⇔a􀅰b＝０(a,b为非零向 量);③设a＝(x,y,z),则|a|２＝a２,|a| ＝ x２＋y２＋z２． (２)空间向量的坐标运算: a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３) 向量和 a＋b＝　　　　　　　　　 向量差 a－b＝　　　　　　　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　　　　　　　 共线 a∥b⇒a１＝λb１,a２＝λb２, a３＝λb３(λ∈R,b≠０) 垂直 a⊥b⇔　　　　　　　　　 夹角 公式 cos‹a,b›＝　　　　　　　　 一、选择题 １．已知a＝(λ＋１,０,２),b＝(６,２μ－１,２λ),若 a∥b,则λ与μ 的值可以是 (　　) A．２,１２　　　　　　　　　B．－ １ ３ ,１ ２ C．－３,２ D．２,２ ２．已知正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,点E 为上 底面A１C１ 的中心,若AE → ＝AA１ → ＋xAB → ＋ yAD →,则x,y的值分别为 (　　) A．１,１ B．１,１２ C．１２ ,１ ２ D． １ ２ ,１ ３．已知a＝(２,１,－３),b＝(－１,２,３),c＝(７,６, λ),若a,b,c三向量共面,则λ＝ (　　) A．９ B．－９ C．－３ D．３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 ４．在空间四边形ABCD 中,AB →􀅰CD → ＋AC →􀅰 DB → ＋AD →􀅰BC → ＝ (　　) A．－１ B．０ C．１ D．不确定 ５．(多选题)已知ABCDＧA１B１C１D１ 为正方体, 下列说法中正确的是 (　　) A．(A１A → ＋A１D１ → ＋A１B１ →)２＝３A１B１ →２ B．A１C →􀅰(A１B１ → －A１A →)＝０ C．向量AD１ → 与向量A１B → 的夹角是６０° D．正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的体积为|AB → 􀅰AA１ →􀅰AD → | ６．(多选题)已知点P 是平行四边形ABCD 所 在的平面外一点,如果AB → ＝(２,－１,－４), AD → ＝(４,２,０),AP → ＝(－１,２,－１),下列结论 正确的有 (　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．AP → 是平面ABCD 的一个法向量 D．AP → ∥BD → 二、填空题 ７．若A(－１,２,３),B(２,１,４),C(m,n,１)三点共 线,则m＋n＝　　　　． ８．如图所示,在长方体 ABＧ CDＧA１B１C１D１ 中,O 为 AC 的 中 点．用AB →,AD →, AA１ → 表 示OC１ →,则OC１ → ＝ 　　　　． ９．已知a＝(２,－１,３),b＝(－１,４,－２),c＝(７, ５,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于 　　　　． １０．在三棱柱ABCＧA１B１C１ 中,M,N 分别是 A１B,B１C１ 上的点,且BM＝２A１M,C１N＝ ２B１N．设AB → ＝a,AC → ＝b,AA１ → ＝c． (１)用a,b,c表示向量MN → 为　　　　; (２)若∠BAC＝９０°,∠BAA１＝∠CAA１＝ ６０°,AB＝AC＝AA１＝１,则 MN 的长为 　　　　． 三、