高效作业(五) 双曲线-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(五)　双曲线 １．双曲线的定义 平面内到两个定点F１,F２ 的距离的差的 绝对值等于常数２a(２a＜|F１F２|)的点P 的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲 线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的 焦距． ２．双曲线的几何性质 标准 方程 x２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) y２ a２ －x ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) 范围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R 对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 焦点 F１ 　　,F２ 　　 F１ 　　,F２ 　　 顶点 A１(－a,０),A２(a,０)A１(０,－a),A２(０,a) 轴 线段A１A２,B１B２ 分别是双曲线的实轴 和 虚 轴;实 轴 长 为 　 　 　,虚 轴 长 为　　　 焦距 |F１F２|＝２c 离心率 e＝ca＝ １＋ b２ a２ ∈(１,＋∞) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大． 渐近线 y＝±bax y＝± a bx a,b,c 的关系 a２＝　　　　 一、选择题 １．“m＞１且m≠２”是“方程 x ２ ２－m－ y２ m－１＝１ 表 示双曲线”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．双曲线x ２ ２５－ y２ ９＝１ 上的点到一个焦点的距离 为１２,则到另一个焦点的距离为 (　　) A．２２或２　　　　　　　　B．７ C．２２ D．２ ３．双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为 ３,则其渐近线方程为 (　　) A．y＝± ２x B．y＝± ３x C．y＝± ２２x D．y＝± ３ ２x ４．已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)与直线y＝２x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为 (　　) A．(１,５) B．(１,５] C．(５,＋∞) D．[５,＋∞) ５．(多选题)已知双曲线C过点(３,２)且渐近线 为y＝± ３３x ,则下列结论正确的是 (　　) A．C的方程为x ２ ３－y ２＝１ B．C的离心率为 ３ C．曲线y＝ex－２－１经过C的一个焦点 D．直线x－ ２y－１＝０与C有两个公共点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 ６．设F为双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的 右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与 圆x２＋y２＝a２ 交于P,Q 两点．若|PQ|＝ |OF|,则C的离心率为 (　　) A．２ B．３ C．２ D．５ 二、填空题 ７．平面内到点F１(０,４),F２(０,－４)的距离之差 等于６的点的轨迹是　　　　． ８．若方程 x ２ ２＋m－ y２ m＋１＝１ 表示双曲线,则 m 的取值范围是　　　　． ９．坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的 双曲线的一条渐近线的倾斜角为π ３ ,则双曲 线的离心率为　　　　． １０．中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线 有共同的焦点F１,F２,且|F１F２|＝２１３,椭 圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为４, 离心率之比为３∶７． (１)椭圆的方程为　　　　; (２)若 P 为 这 两 曲 线 的 一 个 交 点,则 cos∠F１PF２＝　　　　． 三、解答题 １１．已知双曲线的方程为４x２－９y２＝３６． (１)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线 方程; (２)设F１ 和F２ 是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF１|􀅰|PF２|＝１６,求 ∠F１PF２ 的大小． １２．已知曲线C:x２－y２＝１和直线l:y＝kx －１． (１)若直线l与曲线C 有两个不同的交点, 求实数k的取值范围; (２)若直线l与曲线C 交于A,B 两点,O 是 坐标原点,且△AOB 的面积为 ２,求实数k 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋