第1章 特殊平行四边形 单元复习提升（易错与拓展）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第1章 特殊平行四边形 单元复习提升（易错与拓展） 易错点01 特殊平行四边形的判定与性质 【指点迷津】理解性记忆每种特殊平行四边形的判定与性质；活学活用理解平行四边形的判定与性质；构建框图理解菱形、矩形、正方形的相同与区别． 典例1．菱形具有而矩形不一定有的性质是（    ） A．对角相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．四条边都相等 跟踪训练1．下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形． B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 跟踪训练2．添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 易错点02 忽视勾股定理在特殊平行四边形中的应用 【指点迷津】在特殊平行四边形中寻找或构建直角三角形，利用勾股定理获取解题所需图形中的数量关系与位置关系. 典例2．已知矩形两条对角线所成的一个角为，矩形的短边长，则长边长 ，对角线长 ． 跟踪训练1．如图，在菱形中，对角线，的长分别为6，8，过点A作于点E，则的长为 ． 跟踪训练2．如图，矩形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为： ．    跟踪训练3．如图，正方形和正方形中，点N在上，，，D是的中点，那么的长是 ． 易错点03 全等三角形、特殊三角形的性质在特殊平行四边形中的应用 【指点迷津】在特殊平行四边形中寻找或构建全等三角形、等腰（等边）、直角三角形 典例3．如图，四边形是正方形，以为边向外作等边，则 °． 跟踪训练1．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 度． 跟踪训练2．如图，菱形的对角线、相交于点，于点，连接，若，则 ．    跟踪训练3．如图，为的中位线，点在上，且为直角，若．，则的长为 ．    跟踪训练4．如图，在中，，，以为斜边作．使，，E、F分别是的中点，连接，则的长为 ． 易错点04 动态几何在特殊平行四边形中的应用 【指点迷津】注意图形变化前后线段长度、角度的等量关系，以及所隐藏的一些位置关系，常用辅助线的作法等. 典例4．如图，四边形是菱形，，点是射线上一动点，把沿直线折叠，其中点D的对应为点，连接，若为等边三角形，则 ．    跟踪训练1．如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1） ；（2）则 ． 跟踪训练2．如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，与y轴交于点E，若，则点E的坐标为 ． 跟踪训练3．如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 跟踪训练4．在综合实践课上，小明把边长为，的菱形纸片沿着对角线剪开如图1所示，然后固定纸片，把纸片沿的方向平移得到，连，，，如图2所示，在平移过程中： （1）当点平移至中点时，则 ． （2）若时，则四边形的面积为 ． 易错点05 特殊平行四边形的综合应用 【指点迷津】综合分析，题目已知可能推导哪些题意所需的结论；题目所求又需要哪些已知. 典例5．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点．      (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 跟踪训练1．如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若的面积与的面积比为，，求的长． 跟踪训练2．如图1，在正方形中，F是线段上的一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，对角线、相交于点O，连接、．    (1)求证：． (2)当点F在线段上移动时（不与端点重合），如图2所示，的度数是否发生变化？请说明理由． (3)请直接写出线段，与之间的数量关系：______．” 拓展01 特殊平行四边形的综合判断题 典例1．如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折型，延长交于点G，连，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有(    )个．    A．2 B．3 C．4 D．5 跟踪训练1．如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且．