第1章 特殊平行四边形（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第1章 特殊平行四边形（知识归纳+题型突破） 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 一、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 二、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 三、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 题型一 菱形、矩形、正方形的性质与判定的有关概念 【例1】下列选项中，矩形一定具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角 巩固训练： 1. 下列性质中，菱形不一定具备的性质是（　　） A．四边相等 B．对角线相等 C．对角线相互垂直 D．对边平行 2．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④ 3．下列四个命题中，假命题是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．已知四边形为矩形，下列条件中，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据菱形、矩形、正方形的性质求长度、角度面积等问题 【例2】矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 巩固训练： 1．已知菱形的对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是 ； 2．矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为（　　） A．4 B． C．3 D．5 3．如图，菱形的对角线与交于点O，，，则 ． 4．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A．13 B．12 C．6 D．3 5．如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 6．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 7．如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点、分别是边、上的两个动点不与顶点、、重合，在运动中始终保持，与交于点，当时，的度数为(    )    A． B． C． D． 题型三 菱形、矩形、正方形的性质与判定 【例3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 巩固训练： 1. 如图中，是角平分线，交于E，交于F，若，那么四边形的周长为 ．    2．如图，两张宽均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形．若测得，则四边形的周长为 cm． 3．如图，已知