第三讲 勾股定理的应用2022-2023学年北师大版八年级数学上册

第三讲 勾股定理的应用 【知识点1】最短路程问题 （1） “将军饮马”问题：过定点向动点所在直线做对称，再利用“两点之间，线段最短”这个性质，运用勾股定理求解. （2） 求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法： 先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可 （3） 求长方体（或正方体）表面上两点间的最短路线长的方法： 先将长方体（或正方体）的表面展成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况.在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长度，长度最短的路线为最短路线. 考点一 ※ 平面图形中的最短路径长度问题（“将军饮马”） 例 如图，两个村子A、B在河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现要在河边CD上建造一水厂向A、B两村送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的费用. 练习 如图，已知AM⊥MN,BN⊥MN，垂足分别为M, N，点C是MN上使AC+ BC的值最小的点．若AM=3, BN=5, MN=15，则AC+ BC＝_______ 考点二 ※ 立体图形中（圆柱）的最短路径长度问题（“化曲为平”—展开图） 例 1.如图所示，圆柱形水杯的高为10cm，底面圆的周长为48cm，一只蚂蚁从A点出发，沿侧面爬行到B点吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是 练习 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是 考点三 ※ 立体图形中（立方体）的最短路径长度问题（“化曲为平”—展开图） 例 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点到B点，沿哪条路线爬行最近？你能帮它找出来吗？ 练习 1.如图，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm，宽为1cm，高为4cm. 2.如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ,若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm. 考点四 ※ 求解几何体“放入物体”类型的问题 例 如图，有一个高为1.5m，底面半径是1m的圆柱形油桶，在上底面靠近边沿的地方有一小孔A，现要从孔中插入一木棒，若木棒下端与圆柱形油桶下底面接触，木棒在油桶外的部分长为0.5m，这根木棒应有多长？ C B A 练习 如图，一个无盖长方体盒子的长、宽、高分别是3cm，4cm，12cm，若给长方体盒子加上盖子能放入木棒的最大长度是多少？ 考点五 ※ 运用勾股定理解决汽车过门或桥的问题 例 某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3米，AB=2米，现有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由． 练习 刘师傅是货车司机，他的车高2.9m，宽2.4m，这次他的运输任务要经过一个如图所示的涵洞，已知半圆拱的圆心距地面2m，半径1.5m，你认为刘师傅能通过这个涵洞么 学科网（北京）股份有限公司 $