第03讲 4.3对数（知识清单+8类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 4.3对数（4.3.1对数的概念+4.3.2对数的运算） 课程标准 学习目标 ①理解对数的概念、掌握对数的性质。 ②掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 ③理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。 ④能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。 通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题. 知识点01：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点02：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点03：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【即学即练2】（2023·高一课时练习）的值是 ． 【答案】/0.2 【详解】由对数的概念可得， 故答案为： 知识点04：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【即学即练3】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）计算：   . 【答案】 【详解】根据对数的运算法则，可得. 故答案为：. 知识点05：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【即学即练4】（2023·全国·高一假期作业）的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可得：. 故选：B. 题型01对数概念判断与求值 【典例1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数是对数函数的是（      ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）在中，实数a的取值范围是 A． B． C．D． 【变式1】（2023·全国·高一假期作业）若，则x的值为 ． 【变式2】（2023·高一课时练习）计算： ； . 题型02指数式与对数式相互转换 【典例1】（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，计算= 【变式1】（2023·高一课时练习）已知，则的值为 ． 【变式2】（2023·高一课时练习）已知，则 . 题型03对数的运算 【典例1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）化简： ． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）计算 (1) . (2) . 【变式1】（2023春·天津南开·高二统考期末）计算： . 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）计算： (1); (2) 题型04对数运算性质的应用 【典例1】（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设，求证：. 【变式1】（2023·高一课时练习）设，那么的值所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）（1）已知，计算； （2）． 【变式3】（2023春·上海黄浦·高一统考期末）已知，，若用、表示，则 ． 题型05换底公式的应用 【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，求.（用表示） 【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）计算： (1)； (2). 【变式1】（20