圆锥曲线汇编-广东省广州市各区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

2022~2023学年广东省广州市各区高二下学期数学期末试题汇编：圆锥曲线（原卷版） 1、 单选题 1. （2023年广东省广州市天河区）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 2、 多选题 1. （2023年广东省广州市天河区）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 若，且，则 C. 分别以线段、为直径的两个圆内切 D. 2. （2023年广东省广州市番禺区）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 的最小值为4 C. 对任意的直线， D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 3. （2023年广东省广州市越秀区）费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 双曲线C的方程为 C. 过点作，垂足为K，则 D. 点Q的坐标为 3、 填空题 1. （2023年广东省广州市天河区）椭圆的离心率为______. 2. （2023年广东省广州市番禺区）已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为_________. 4、 解答题 1. （2023年广东省广州市番禺区）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为． （1）求该双曲线的方程； （2）若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点. 2. （2023年广东省广州市天河区）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积. 3. （2023年广东省广州市荔湾区）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022~2023学年广东省广州市各区高二下学期数学期末试题汇编：圆锥曲线（解析版） 1、 单选题 1. （2023年广东省广州市天河区）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求得点的横坐标. 【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得. 故选：C. 2、 多选题 1. （2023年广东省广州市天河区）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 若，且，则 C. 分别以线段、为直径的两个圆内切 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求得，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A选项的正确性；结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性；通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性；结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性. 【详解】对于A选项，设点，则， 因为、，所以， 由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对； 对于B选项，因为，所以， 根据双曲线的定义可得， 又因为，所以，整理得. 由，可得， 即，解得，B错； 对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点， 所以， 则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对； 对于D，当点在第一象限时，设点，则，. 因为渐近线方程为， 所以，. 当时，即当轴时，则， 所以，，可得，所以，， 此时，为等腰直角三角形，则，满足； 当时，，， 所以 ， 因为，所以； 当点在第四象限时，同理可得， 综上可知，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2. （2023年广东省广州市番禺区）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 的最小值为4 C. 对任意的直线， D. 以为直径的圆与