专题02 解一元二次方程（知识串讲+9大考点）-【一遍过】2023-2024学年九年级数学上册重难考点一遍过（人教版）

专题02 解一元二次方程 考点类型 知识串讲 （一）解一元二次方程的方法 （1）解法一：直接开平方法 概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】 ①若n≥0，方程有两个实数根。 （若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根） ②若n<0，方程无解。 （2）解法二：配方法 概念： 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解 一般步骤: ①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式； ④求解：判断右边等式符号，开平方并求解 （3）解法三：公式法（常用解法） 概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 一般步骤： ①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); ②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; ③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： ④最后求出x1，x2 （4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用） 概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0 一般步骤： ①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④求解 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解 （二）根的判别式 概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac ①b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。 ②b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。 ③b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。 ④b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。 （三）根与系数的关系 ①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝. ②使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0. 考点训练 考点1：解一元二次方程——直接开平方 典例1：（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值是_________． 【变式1】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程的根是______． 【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）若，则________． 【变式3】（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“”，其规则为，则方程的解为 _____． 考点2：解一元二次方程——配方法 典例2：（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝_____． 【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）方程的解是______． 【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程，方程可变形为，则_________，__________． 【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：x2+12x-15=0 解：可以把常数项移到方程的右边，得 ①__________________， 两边同时加上62（一次项系数12一半的平方），得 ②________________， 即 ③_____________． 两边开平方，得 ④_______________， 即 ⑤_________________． 所以 ⑥_________________． 考点3：配方法的应用 典例3：（2023春·浙江·八年级专题练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于__________． 【变式1】（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知，则_______．(填“”“”或“”) 【变式2】（2023春·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ________ ． 【变式3】（2022秋·全国·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程，可以写成（x＋h）2＝k的形式，则___________． 考点4：利用△判断根的情况 典例4：（2023秋·上海普陀·八年级校联考期末）不解方程，判别方程的根的情况：______